Lösungsalgorithmen für Variationsungleichungen und gekoppelte Systeme im Wissenstransfer zwischen Forschung und Schule

Gregor Milicic (2019): Lösungsalgorithmen für Variationsungleichungen und gekoppelte Systeme im Wissenstransfer zwischen Forschung und Schule. Dissertation, Paris-Lodron-Universität Salzburg.
Betreut durch Karl Josef Fuchs.
Begutachtet durch Andreas Schröder und Ján Gunčaga.

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit werden die erzielten Ergebnisse und Resultate zweier Forschungsthemen der numerischen Mathematik dargestellt, den Lösungsverfahren für Variationsungleichungen und für gekoppelte Reaktions-Diffusionsgleichungssysteme. Den thematischen Rahmen dieser Dissertation bildet die Kernfrage, ob und bis zu welcher inhaltlichen Tiefe diese Forschungsthemen auch mit SchülerInnen bearbeitet werden können. Die Arbeit ist damit an der Schnittstelle zwischen der fachwissenschaftlichen und der didaktischen Forschung einzuordnen.

Für die Variationsungleichungen wird eine Basistransformation vorgestellt, die die Nebenbedingungen allgemeinerer Art in einfachere Boxconstraints überführen kann. Es wird gezeigt, wie bei Varianten der Projective-Successive-Overrelaxation-Verfahren (PSOR) und bei einem Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus die Variablentransformation ohne explizite Aufstellung der Transformationsmatrix in die Verfahren eingebettet werden kann. Für das PSOR-Verfahren wird zudem ein Beschleunigungsansatz vorgestellt und die Konvergenz des beschleunigten Verfahrens bewiesen. Die numerischen Experimente zeigen, dass das beschleunigte PSOR-Verfahren für diese Art von Problemstellungen durchaus konkurrenzfähig zum etablierten Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus ist.

Reaktions-Diffusionsgleichungssysteme werden in der Biophysik häufig zur Modellierung von Signalkaskaden genutzt. Die einzelnen Gleichungen des Systems können, in Abhängigkeit von der modellierten Reaktion, untereinander gekoppelt und nichtlinear sein. Die räumliche Diskretisierung überführt die partiellen in gewöhnliche Differentialgleichungen. Für eine Klasse von impliziten Verfahren wird ein Fixpunktansatz zur Lösung des jeweiligen Zeitschrittes vorgestellt und dessen Konvergenz bewiesen. Während häufig genutzte IMEX-Verfahren bei steifen Reaktionstermen sehr kleine Zeitschrittweiten erfordern, können mit der Fixpunktabbildung bei der Nutzung einer Relaxation auch große Zeitschritte gewählt werden. In anschließenden biophysikalischen Experimenten wird der Einfluss der Zellgröße und der Form der Zelle auf die Signalkaskade untersucht.

Damit die SchülerInnen die Forschungsthemen bearbeiten können, benötigen sie Kenntnisse über die Inhalte und müssen über die notwendigen Kompetenzen für das Experimentieren verfügen. Als einführende und vorbereitende Themen wurden dafür in dieser Dissertation die iterativen Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme und Zeitschrittverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen identifiziert und mit der jeweiligen Theorie und prototypischen Aufgabenstellungen vorgestellt.

Die Numerik als mathematische Disziplin stand bisher kaum im Fokus der fachdidaktischen Forschung. Ein weiterer Aspekt dieser Dissertation ist daher auch die Verortung der Numerik anhand von anerkannten Konzepten der Fachdidaktik, um daraus Rückschlüsse auf die Wissensvermittlung zu gewinnen. Methodisch-didaktische Überlegungen zur Vermittlung des Lehrstoffes werden ebenfalls gegeben. Es wird dargestellt, wie sowohl grundlegende Themen der Numerik als auch die zwei Forschungsthemen der numerischen Mathematik schrittweise eingeführt und vermittelt werden können.

Englische Zusammenfassung

In this work, the results of two research projects in numerical mathematics are presented, solution algorithms for variational inequalities and for coupled systems of reaction-diffusion equations. The underlying question of this dissertation is whether and to which degree students can participate in the research activities. This work is therefore situated both in mathematics and in didactics of mathematics.

For a class of linear variational inequalities a simple basis transformation is introduced, which converts the original linear inequality constraints into simple box constraints. It is shown how that basis transformation can be used within a projected SOR solver and within the primal-dual active set method even without computing the transformation explicitly. For the projected SOR solver an acceleration technique is presented and the convergence of this accelerated method is proven. Numerical experiments show that by using the acceleration technique the projected SOR solver becomes comparable to the primal-dual active set method.

Reaction-diffusion systems are often used to model signaling cascades in biophysics. Depending on the model, the equations can be coupled and dependent on each other and therefore difficult to handle. Discretization in space transforms the system of partial in ordinary differential equations. For a class of implicit methods a fixpoint scheme is presented, which can be used to solve the nonlinear equation in each time step. The convergence of this fixpoint scheme is proven. If not only the diffusion, but also the reaction term is stiff, popular IMEX methods require small time steps, whereas if the fixpoint scheme is used with a successive overrelaxation, bigger time steps can be chosen. As an application, the influence of the cell size and cell form on signaling cascade is analysed in biophysical simulations using reaction-diffusion systems.

To prepare the students for the research topics, iterative methods for linear systems and time stepping methods for ordinary differential equations were identified as introductory topics. The theory and prototypical tasks for both subjects are presented.

Another focus of this work is the didactics of numerical mathematics, which is not widely regarded in mathematical education. Using and combining the concepts of mathematical modelling and experimenting, a concept for didactics of numerical mathematics is presented. This concept can be used to teach students the introductory as well as the presented research topics.