Quelltext der Seite Lösungsalgorithmen für Variationsungleichungen und gekoppelte Systeme im Wissenstransfer zwischen Forschung und Schule

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{{diss
| name= Gregor Milicic
| titel = {{PAGENAME}}
| hochschule= Paris-Lodron-Universität Salzburg
| jahr = 2019
| typ = Dissertation
| betreut =  Karl Josef Fuchs
| begutachtet =  Andreas Schröder, Ján Gunčaga
| download =
| sprache = 
| note =
| pruefungam = 
| schulart =
| stufe =  
| matheduc = 
}}
 
== Zusammenfassung ==
In der vorliegenden Arbeit werden die erzielten Ergebnisse und Resultate 
zweier Forschungsthemen der numerischen Mathematik dargestellt, den 
Lösungsverfahren für Variationsungleichungen und für gekoppelte 
Reaktions-Diffusionsgleichungssysteme. Den thematischen Rahmen dieser 
Dissertation bildet die Kernfrage, ob und bis zu welcher inhaltlichen 
Tiefe diese Forschungsthemen auch mit SchülerInnen bearbeitet werden 
können. Die Arbeit ist damit an der Schnittstelle zwischen der 
fachwissenschaftlichen und der didaktischen Forschung einzuordnen.

Für die Variationsungleichungen wird eine Basistransformation 
vorgestellt, die die Nebenbedingungen allgemeinerer Art in einfachere 
Boxconstraints überführen kann. Es wird gezeigt, wie bei Varianten der 
Projective-Successive-Overrelaxation-Verfahren (PSOR) und bei einem 
Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus die Variablentransformation ohne 
explizite Aufstellung der Transformationsmatrix in die Verfahren 
eingebettet werden kann. Für das PSOR-Verfahren wird zudem ein 
Beschleunigungsansatz vorgestellt und die Konvergenz des beschleunigten 
Verfahrens bewiesen. Die numerischen Experimente zeigen, dass das 
beschleunigte PSOR-Verfahren für diese Art von Problemstellungen 
durchaus konkurrenzfähig zum etablierten 
Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus ist.

Reaktions-Diffusionsgleichungssysteme werden in der Biophysik häufig zur 
Modellierung von Signalkaskaden genutzt. Die einzelnen Gleichungen des 
Systems können, in Abhängigkeit von der modellierten Reaktion, 
untereinander gekoppelt und nichtlinear sein. Die räumliche 
Diskretisierung überführt die partiellen in gewöhnliche 
Differentialgleichungen. Für eine Klasse von impliziten Verfahren wird 
ein Fixpunktansatz zur Lösung des jeweiligen Zeitschrittes vorgestellt 
und dessen Konvergenz bewiesen. Während häufig genutzte IMEX-Verfahren 
bei steifen Reaktionstermen sehr kleine Zeitschrittweiten erfordern, 
können mit der Fixpunktabbildung bei der Nutzung einer Relaxation auch 
große Zeitschritte gewählt werden. In anschließenden biophysikalischen 
Experimenten wird der Einfluss der Zellgröße und der Form der Zelle auf 
die Signalkaskade untersucht.

Damit die SchülerInnen die Forschungsthemen bearbeiten können, benötigen 
sie Kenntnisse über die Inhalte und müssen über die notwendigen 
Kompetenzen für das Experimentieren verfügen. Als einführende und 
vorbereitende Themen wurden dafür in dieser Dissertation die iterativen 
Lösungsverfahren für
lineare Gleichungssysteme und Zeitschrittverfahren für gewöhnliche 
Differentialgleichungen identifiziert und  mit der jeweiligen Theorie 
und prototypischen Aufgabenstellungen vorgestellt.

Die Numerik als mathematische Disziplin stand bisher kaum im Fokus der
fachdidaktischen Forschung. Ein weiterer Aspekt dieser Dissertation ist 
daher
auch die Verortung der Numerik anhand von anerkannten Konzepten der
Fachdidaktik, um daraus Rückschlüsse auf die Wissensvermittlung zu 
gewinnen.
Methodisch-didaktische Überlegungen zur Vermittlung des Lehrstoffes 
werden ebenfalls
gegeben. Es wird dargestellt, wie sowohl grundlegende Themen der Numerik 
als auch die zwei Forschungsthemen der numerischen Mathematik 
schrittweise eingeführt und vermittelt werden können.

== Englische Zusammenfassung ==
In this work, the results of two research projects in numerical 
mathematics are presented, solution algorithms for variational 
inequalities and for coupled systems of reaction-diffusion equations. 
The underlying question of this dissertation is whether and to which 
degree students can participate in the research activities. This work is 
therefore situated both in mathematics and in didactics of mathematics.

For a class of linear variational inequalities a simple basis 
transformation is introduced, which converts the original linear 
inequality constraints into simple box constraints. It is shown how that 
basis transformation can be used within a projected SOR solver and 
within the primal-dual active set method even without computing the 
transformation  explicitly. For the projected SOR solver an acceleration 
technique is presented and the convergence of this accelerated method is 
proven. Numerical experiments show that by using the acceleration 
technique the projected SOR solver becomes comparable to the primal-dual 
active set method.

Reaction-diffusion systems are often used to model signaling cascades in 
biophysics. Depending on the model, the equations can be coupled and 
dependent on each other and therefore difficult to handle. 
Discretization in space transforms the system of partial in ordinary 
differential equations. For a class of implicit methods a fixpoint 
scheme is presented, which can be used to solve  the nonlinear equation 
in each time step. The convergence of this fixpoint scheme is proven. If 
not only the diffusion, but also the reaction term is stiff, popular 
IMEX methods require small time steps, whereas if the fixpoint scheme is 
used with a successive overrelaxation, bigger time steps can be chosen. 
As an application, the influence of the cell size and cell form on 
signaling cascade is analysed in biophysical simulations using 
reaction-diffusion systems.

To prepare the students for the research topics, iterative methods for 
linear systems and time stepping methods for ordinary differential 
equations were identified as introductory topics. The theory and 
prototypical tasks for both subjects are presented.

Another focus of this work is the didactics of numerical mathematics, 
which is not widely regarded in mathematical education. Using and 
combining the concepts of mathematical modelling and experimenting, a 
concept for didactics of numerical mathematics is presented. This 
concept can be used to teach students the introductory as well as the 
presented research topics.
== Auszeichnungen ==
<!-- Hier bitte eventuell erhaltene Auszeichnungen/Preise als Liste aufführen. 
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* Erster Preis
* Zweiter Preis -->

== Kontext ==
<!-- Hier ist Raum, um die Arbeit in den Forschungskontext einzubetten -- verwandte
          Dissertationen sollten genannt werden, Arbeitsgruppen oder Konferenzen,
          die sich mit dem Thema beschäftigen, etc. -->
=== Literatur ===
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<!-- [[Vorname Nachname|Nachname, V.]] (Jahr). Buchtitel. Dissertation, Ort: Verlag -->
=== Links ===
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