Kurvendiskussion mit CAS

Die Einführung von CAS (Computeralgebrasystemen) verändert die Aufgabenkultur im Mathematikunterricht, was sich insbesondere auf die Kurvendiskussion und die Herangehensweise an dieses Themenfeld auswirkt. Dabei hat die Einführung der CAS sowohl Einfluss auf die zu untersuchenden Funktionen als auch auf die Aufgabenstellungen. In vielen Bundesländern gehört die Nutzung eines CAS-Rechners bereits zum Standard im Oberstufenunterricht, was die Frage nach einer sinnvollen Anwendung dessen im Analysiskurs aufwirft.

Die neue Aufgabenkultur

Da die klassischen Aufgaben der Kurvendiskussion mit einem CAS-Rechner sehr schnell und ohne Aufwand gelöst werden können, wird eine Veränderung der Aufgabenkultur angestrebt. Diese neue Aufgabenkultur versucht

• die qualitative Analysis stärker zu betonen
• interessante Anwendungskontexte einzubeziehen

• neue Technologien wie beispielsweise den CAS-Recher sinnvoll und gewinnbringend zu nutzen

Anwendungem im Sinne echter modellbildender Aktivitäten, wie sie im Rahmen der Kompetenzorientierung, in diesem Fall zur Ausbildung der Modellierungskompetenz, im Unterricht eingebracht werden sollen, erfordern eine tiefgehende Auseinandersetzung mit einem außermathematischen Kontext, welchen es in eine mathematische Form zu bringen gilt. Dies ist ein anspuchsvolles Gebiet, da zum Einen eine sachgerechte inhaltliche Beschreibung des Problemfeldes die Schüler und den Lehrer schnell überfordern kann. Zum Anderen ist eine geeignete Mathematisierung mit schulmathematischen Mitteln oft nicht realisierbar.

Im Folgenden sollen zwei Aufgaben dargestellt werden, welche die angesprochenen Aspekte berücksichtigen und die im zeitgemäßen Analysisunterricht in der Kursstufe verwendet werden können.

Aufgabenbeispiel 1: Die Milchtüte

Wir betrachten eine Milchtüte mit einem Volumen von 1 Liter aus einem beliebigen Supermarkt.

Foto einer 1 L Milchtüte

Es interessiert uns, ob der Hersteller darauf geachtet hat, so wenig Pappe wie möglich für die Herstellung zu verwenden.

Es handelt sich folglich um eine Optimierungsaufgabe.

Mögliches Vorgehen: Entleeren wir diese Milchtüte, trennen die Kleberänder und falten sie auf, erhalten wir das folgende Faltnetz:

3D Plot mit Casio ClassPad 300

Wir entnehmen die Maße $a=7,1cm$ und $h=19,7cm$. Damit ergibt sich ein Volumen von $993cm^{3}$. Da die Milchtüte im gefüllten Zustand leicht bauchig war, kann man ein Volumen von $1000cm^{3}$ annehmen. Erkennt man $a$ und $h$ als variierbare Größen, kommt man auf die Funktion $M(a,h)=(h+2\cdot {\frac {a}{2}}+2\cdot 0,6)\cdot (4a+0,6)$ für den Materialverbrauch. An dieser Stelle kann man nun den CAS-Rechner bemühen und sich den 3-D Plot darstellen lassen (Abbildung rechts). Doch ist dies leider noch nicht zielführend, da der Graph in seiner Gesamtheit nicht von Interesse ist.

In diesem Zusammenhang wird klar, dass man die mit CAS-Rechnern gewonnenen Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat. Es fehlt noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung ${a^{2}}\cdot {h}=1000cm^{3}(=1Liter)$. Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert man $h$ in $M(a,h)$ und erhält $M(a)=4a^{2}+5,4a+0,72+{\frac {4000}{a}}+{\frac {600}{a^{2}}}$ mit $a>0$.

Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS. An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung $M(a)$ qualitativ analytisch zu diskutieren. Man erkennt, dass für große und für kleine $a\ M(a)$ groß wird, was bedeutet, dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss. Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung durchführen und das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert die Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.

Hier sei explizit darauf hingewiesen, dass $M'(a)=0$ eine Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann. Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die komplizierten algebraischen Wurzelterme erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen. Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.

Das Ergebnis $a=7,8cm$ weicht stark vom realen Wert $a=7,1cm$ ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden und es bietet sich eine Diskussion an.

Aufgabenbeispiel 2: Skihänge

Die hier dargestellte Aufgabe zeigt die Nutzbarkeit und die Möglichkeiten eines CAS bei der Lösung einer darauf ausgelegten Musteraufgabe für das Abitur. Solche und ähnliche Aufgaben findet man unter anderem in den Abiturvorbereitungsbüchern vom STARK-Verlag.

Aufgabe:

Ein Sportlehrer wollte sich auf ein Skilager gut vorbereiten. Zur Einteilung der Schülergruppen nach ihren Leistungen

erstellte er die Höhenprofile der Skihänge. Folgende Tabelle kam dabei heraus:

a) Bestimmen Sie durch Regression die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, die das Höhenprofil des Berges wiedergeben könnte.

Zuerst lässt man sich die Wertepaare mit dem CAS darstellen, um sich bewusst zu werden, welchen funktionalen Zusammenhang diese Datenpaare beschreiben könnten.

Darauf aufbauend sollte eine Regression mit dem CAS-Rechner erfolgen, bei der man erkennt, dass in diesem Falle eine Funktion dritten Grades genügt. Die Parameter der erhaltenen kubischen Funktion sind in der nächsten Abbildung dargestellt.

Man erhält folglich die Funktion $f(x)=-2,381629\cdot 10^{-5}\cdot {x^{3}}+0,005805\cdot {x^{2}}-0,06422\cdot {x}+39,987088$ als Lösung.

Beim Schwierigkeitsgrad von Skipisten unterscheidet man zwischen:

• blau: leicht, mit einer max. Neigung von 25%
• rot: mittelschwer, mit einer max. Neigung von 40%
• schwarz: anspruchsvoll, mit einer größeren Neigung als 40%

b) Ermitteln Sie die maximale Neigung der Skipiste und ordnen Sie diese der entsprechenden Farbe zu. Der Tourismusverband überlegt, auch den rechten Hang für den Wintersport zu nutzen. Begründen Sie, weshalb dieses Vorhaben verworfen werden sollte.

Hier nutzt man die Solve- Funktion des CAS, mit der man sogar direkt erzwingen kann, dass auch ein Maximum ausgebenen wird, sollte es existieren. Die entsprechende Eingabe in einen CAS-Rechner wird in der folgenden Abbildung illustriert, wobei $y1(x)$ der Funktion $f(x)$ entspricht.

Der höchste Punkt besitzt die Koordinaten $P(156,753;80,8199)$, was sehr gut zu unserem Plot der ersten Abbildung passt. Die maximale Neigung findet man an den Wendepunkten und man verfährt wie eben, nur dass man fordert, dass die zweite Ableitung der Funktion Null wird, jedoch die dritte nicht. Man erhält eine Wendestelle $x_{w}=81,2435$ auf dem linken Hang.

Durch Einsetzen erkennt man, dass für den rechten Hang die Neigung an der Intervallgrenze $(x=240)$ am größten ist. (was auch schön am Plot des Hanges erkennbar ist)

Ergebnisse:

linker Skihang: maximale Neigung bei $x_{w}=81,2435$, $m_{l}=0,407379$

Mit ca. 40% Neigung könnte man diese Piste mit schwarz oder rot markieren, da dies der direkte Grenzfall ist.

für den rechten Skihang gilt: x=240 mit $m_{r}=-1,39339$

Mit einer maximalen Neigung von 139% ist dieser Hang zum Skifahren viel zu gefährlich. Er sollte nicht für den Tourismus erschlossen werden. Der Sportlehrer sollte mit seiner Klasse folglich nur den linken Hang nutzen, aber auch nur mit schon erfahrenen Schülern.

Das Schöne der Aufgabe ist, dass man gleich zu Beginn die grafische Darstellung des Höhenprofils des Berges selbst erarbeiten muss. Dazu nutzt man die Potenz eines CAS. Den Sinn der Lösungen der weiteren Aufgaben kann man gut am Plot vergleichen. Hier sieht man schnell, wenn man falsche Werte erhält. Zusätzlich spricht die Aufgabe die Schüler direkt an und veranschaulicht didaktisch vereinfacht aktuelle Problemstellungen, die in Skigebieten für die Touristensicherheit höchst relevant sind. Desweiteren kann man auch im Anschluss mit der Klasse über diese Aufgabe diskutieren. Dazu bietet sie viel Potenzial. Zusammenfassend bleibt festzustellen, dass durch einen Einsatz dieser Aufgabe im Unterricht und eventuellen sinnvollen Erweiterungen, über die man diskutieren kann, die drei Grunderfahrungen des Mathematikunterrichts nach Heinrich Winter abgedeckt werden können.

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Kurvendiskussion mit CAS. Version vom 22.04.2013. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Kurvendiskussion_mit_CAS&oldid=10254.