Schulnahe Beweise zum zentralen Grenzwertsatz
Jörg Meyer (2004): Schulnahe Beweise zum zentralen Grenzwertsatz. Dissertation, Technische Universität Dortmund.
Zusammenfassung
(teilweise aus Vorwort und Einleitung des Autors)
Der zentrale Grenzwertsatz stellt eine zentrale Verbindung zwischen Analysis und Stochastik dar und besagt in einfachster Form, dass standardisierte Binomialverteilungen gegen die Normalverteilung konvergieren (Satz von de Moivre/Laplace). So können Sachverhalte vereinfacht werden, indem die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert wird. Beweise für den zentralen Grenzwert werden in der Schule jedoch nur sehr selten thematisiert. Die vorliegende Arbeit versucht zu belegen, dass der zentrale Grenzwertsatz durchaus auf elementarem Niveau „begriffen werden“ kann.
Zu Beginn der Arbeit wird zunächst folgenden Fragen nachgegangen: Was soll unter „Begründung“ und „schulnah“ verstanden werden? Von welcher Form des zentralen Grenzwertsatzes (lokal/global; Spezialfall von de Moivre/Laplace oder allgemeine Aussage von Lindeberg/Feller) soll die Rede sein?
Anschließend wird im zweiten Kapitel in den mathematischen Sachverhalt eingeführt und aufgezeigt, welches Auftreten der Normalverteilung im schulischen Kontext thematisiert werden kann:
- die Normalapproximation der Binomialverteilung (unterschiedliche Begründungen in Kap. 4 und 5),
- die Grenzverteilung der arithmetischen Mittel bei (fast) beliebiger Grundgesamtheit (ein Beweis in Kap. 5.2) und
- die Normalverteilung als Verteilung von Messfehlern (zwei Beweise in Kap. 8).
In den Kapiteln 4 bis 8 wird der wesentliche Faktor e^((-x^2)/2) thematisiert, Kap. 9 beschäftigt sich mit dem Vorfaktor 1/√2π. Wie die Methode der Normalapproximation der Binomialverteilung auf die der Poisson-Verteilung übertragen werden kann, wird in Kap. 7 untersucht. Schließlich werden in Kap. 11 Hilfsresultate der Stochastik, die für vorhergehende Beweise möglicherweise gebraucht wurden, bewiesen und in Kap. 12 erfolgt ein didaktisches Fazit. Demzufolge können je nach Leistungsniveau und Zielstellung (zumindest teilweise) Begründungen des zentralen Grenzwertsatzes in der Schule thematisiert werden. Zum einen können die Schüler/-innen sich von der Richtigkeit dieses (zentralen) Satzes überzeugen, zum anderen erfahren sie, wie die Analysis zur Betrachtung eines stochastischen Problems beitragen kann.