Relation

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Übersicht ^[1]

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet. ^[2] Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa $A$ und $B$ genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie $a$ zu $b$ „in Beziehung steht“, falls $a\in A$ und $b\in B$ gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie ${{a}^{2}}=2b-1$ oder eine Ungleichung wie $3a<2{\sqrt {b}}$ beschrieben werden.
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit $R$ bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare $(a,b)$ aus der „Produktmenge“ $A\times B$ gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge $A\times B$ als eine „Relation zwischen $A$ und $B$ “ – oder genauer: als eine „Relation von $A$ nach $B$ “ – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in $A\times B$ anstelle von $A$ und $B$ beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge $A\times B$ als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen – und vor allem situativ zu beachten und unterscheiden!

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit $(a,b)$ bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit $\{a,b\}$ bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung $(a,b)$ als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch elegant zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien $A,B,R$ Mengen und $n\in {{\mathbb {N} }^{*}}{\text{ }}\!\!\backslash \!\!{\text{ }}\{1\}$ (also $n>1$ ).
Für beliebige Objekte $a,b$ gilt:: $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ \|\| $(a,b)$ heißt „geordnetes Paar“. Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass $(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b$ gilt. $(a,b)$ lässt sich rekursiv zum geordneten $n$ -Tupel $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})$ verallgemeinern. Spezielle Namen sind für $n=3$ „Tripel“ und für $n=4$ „Quadrupel“.
: $A\times B:=\{(a,b)\|a\in A\wedge b\in B\}$	$A\times B$ heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von $A$ und $B$ ). $A\times B$ lässt sich rekursiv zu ${{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}$ verallgemeinern.
$R$ ist genau dann eine $n$ -stellige Relation, wenn $R$ aus geordneten $n$ -Tupeln besteht.	2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen aus geordneten Paaren.
$R$ ist genau dann eine Relation von $A$ nach $B$ , wenn $R\,\subseteq \,A\,\times \,B$ gilt.	Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
$R$ ist genau dann eine Relation in $A$ , wenn $R\,\subseteq \,A\,\times \,A$ gilt.	Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart:: $xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R$

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen ^[3]

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: $M,R$ seien Mengen, $R\neq \varnothing$ und $R\subseteq M\times M$ .	Die nachfolgenden Erläuterungen deuten $xRy$ als einen „Pfeil* von $x$ nach $y$ “*.
$R$ ist symmetrisch $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$ wenn $xRy$ , dann $yRx$ .	Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen: also keine Einbahnstraßen (ungerichteter Graph).
$R$ ist asymmetrisch $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$ wenn $xRy$ , dann nicht $yRx$ .	Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung: nirgends Schleifen, also höchstens Einbahnstraßen (gerichteter Graph).
$R$ ist identitiv $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$ wenn $xRy$ und $yRx$ , dann $x=y$ .	Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung: Schleifen möglich. ^[4]
$R$ ist transitiv $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y,z:$ wenn $xRy$ und $yRz$ , dann $xRz$ .	Wenn eine mittelbare Verbindung, dann auch eine unmittelbare (also direkte und damit kürzeste): Existenz von Überbrückungspfeilen.
$R$ ist reflexiv in $M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x\in M:$ $xRx$ .	Überall Schleifen.
$R$ ist irreflexiv in $M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x\in M:$ nicht $xRx$ .	Nirgends Schleifen.
$R$ ist konnex in $M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y\in M:$ $xRy$ oder $yRx$ .	Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung: überall Schleifen. ^[5]

Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in $M$ “, was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

↑ Die gesamte Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].
↑ Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.
↑ Veranschaulichungen und weitere Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]
↑ Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.
↑ Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „connecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Horst Hischer (2015): Relation. Version vom 15.11.2015. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Relation&oldid=22797.

[1] Die gesamte Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].

[2] Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.

[3] Veranschaulichungen und weitere Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]

[4] Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.

[5] Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „connecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.

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