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Es ist möglich <math> \textstyle 0,\overline{9} </math> als unendliche Summe einer geometrischen Reihe zu schreiben, also

Es ist möglich <math> \textstyle 0,\overline{9} </math> als unendliche Summe einer geometrischen Reihe zu schreiben, also

<br /> <math> \textstyle 0,\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot \frac{1}{10} + 0,9 \cdot \frac{1}{100} + ... =  \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} </math>.

<br /> <math> \textstyle 0,\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot \frac{1}{10} + 0,9 \cdot \frac{1}{100} + ... =  \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} </math>.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math> \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} =  \textstyle \frac{a}{1-q} </math> mit <math> 0 < q < 1 </math> gilt.  

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math> \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} a\cdot q^n  =  \textstyle \frac{a}{1-q} </math> für <math> 0 < q < 1 </math> gilt.  

Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:   

In unserem Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:   

<br/> <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1</math>.

<br/> <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1</math>.