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=== Englischsprachiges Abstract ===

=== Englischsprachiges Abstract ===

It is a widely shared opinion within the scientific and educational community that realistic tasks constitute an essential element in the mathematics classroom. A characteristic feature of this kind of tasks is their embedment in a certain realistic background, the real world context.Whilst it seems to be commonly agreed upon that familiar real world contexts usually have a fostering effect on primary school children the situation seems different for teenage students. Members of this age group tend to interpret given real world con¬texts more individually so that possible contextual effects cannot be predicted as easily for them as they can for younger children. In the qualitative-orientated empirical study that is to be presented here, a focus is put on how upper secondary students deal with real world contexts. Since these students often handle real world contexts in individual ways, a special methodical approach is necessary. This approach is to allow insight into both, the individual mathematical work on the problem and possible internal processes caused by the real world context. Therefore a three-step-design consisting of observation, stimulated recall and interview was developed, which enables the researcher to reconstruct different levels of action separately although they have taken place simultaneously. This methodical approach is regarded as a triangulation of methods; consequently, the data analysis takes this aspect into consideration. It was found that a real world context given in a task is not only interpreted very individually but is also dynamic in a sense that the contextual ideas change and develop during the process of working on the task. Furthermore, the data analysis led to four different ideal types of dealing with the real word context: reality bound, integrating, mathematics bound, ambivalent. Based on the theoretical background of situated learning these ideal types can be understood as effects of – often implicitly given – sociomathematical norms concerning the permissible amount of extramathematical reasoning when working on a mathematical problem. The results of the study show the importance of an individualised view on students' different ways of dealing with real world contexts. Moreover, the relevance of an explicit teaching of sociomathematical norms in the application and modelling classroom has to be emphasised.  

It is a widely shared opinion within the scientific and educational community that realistic tasks constitute an essential element in the mathematics classroom. A characteristic feature of this kind of tasks is their embedment in a certain realistic background, the real world context. Whilst it seems to be commonly agreed upon that familiar real world contexts usually have a fostering effect on primary school children the situation seems different for teenage students. Members of this age group tend to interpret given real world contexts more individually so that possible contextual effects cannot be predicted as easily for them as they can for younger children. In the qualitative-orientated empirical study that is to be presented here, a focus is put on how upper secondary students deal with real world contexts. Since these students often handle real world contexts in individual ways, a special methodical approach is necessary. This approach is to allow insight into both, the individual mathematical work on the problem and possible internal processes caused by the real world context. Therefore a three-step-design consisting of observation, stimulated recall and interview was developed, which enables the researcher to reconstruct different levels of action separately although they have taken place simultaneously. This methodical approach is regarded as a triangulation of methods; consequently, the data analysis takes this aspect into consideration. It was found that a real world context given in a task is not only interpreted very individually but is also dynamic in a sense that the contextual ideas change and develop during the process of working on the task. Furthermore, the data analysis led to four different ideal types of dealing with the real word context: reality bound, integrating, mathematics bound, ambivalent. Based on the theoretical background of situated learning these ideal types can be understood as effects of – often implicitly given – sociomathematical norms concerning the permissible amount of extramathematical reasoning when working on a mathematical problem. The results of the study show the importance of an individualised view on students' different ways of dealing with real world contexts. Moreover, the relevance of an explicit teaching of sociomathematical norms in the application and modelling classroom has to be emphasised.  

=== Deutschsprachige Zusammenfassung ===

=== Deutschsprachige Zusammenfassung ===

In dieser qualitativ orientierten Studie wird untersucht, welche Rolle der Sachkontext (also der sachlich-reale Hintergrund einer realitätsbezogenen Aufgabe) beim Lösungsprozess spielt. Ziel der Untersuchung ist es, einen Einblick in den individuellen Umgang von Oberstufenschülerinnen und -schülern mit Sachkontexten zu bekommen. Um einen angemessen Zugang zum Feld zu erreichen, wurde ein dreistufiges Erhebungsdesign entwickelt, das im Sinne einer Methodentriangulation verschiedene Perspektiven realisiert. Es zeigt sich, dass die Rezeption des Sachkontextes in hohem Maße individuell ausgestaltet wird und im Laufe der Aufgabenbearbeitung Veränderungen und Entwicklungen unterworfen ist. Es lassen sich vier Idealtypen des Umgangs mit dem Sachkontext unterscheiden: realitätsgebunden, mathematikgebunden, integrierend und ambivalent. Diese Idealtypen können in die Theorieansätze des situierten Lernens und der soziomathematischen Normen eingebettet und durch sie erklärt werden.

In dieser qualitativ orientierten Studie wird untersucht, welche Rolle der Sachkontext (also der sachlich-reale Hintergrund einer realitätsbezogenen Aufgabe) beim Lösungsprozess spielt. Ziel der Untersuchung ist es, einen Einblick in den individuellen Umgang von Oberstufenschülerinnen und -schülern mit Sachkontexten zu bekommen. Um einen angemessen Zugang zum Feld zu erreichen, wurde ein dreistufiges Erhebungsdesign entwickelt, das im Sinne einer Methodentriangulation verschiedene Perspektiven realisiert. Es zeigt sich, dass die Rezeption des Sachkontextes in hohem Maße individuell ausgestaltet wird und im Laufe der Aufgabenbearbeitung Veränderungen und Entwicklungen unterworfen ist. Es lassen sich vier Idealtypen des Umgangs mit dem Sachkontext unterscheiden: realitätsgebunden, mathematikgebunden, integrierend und ambivalent. Diese Idealtypen können in die Theorieansätze des situierten Lernens und der soziomathematischen Normen eingebettet und durch sie erklärt werden.

Ausgehend von eigenen Unterrichtserfahrungen mit dem Phänomen, dass die unterrichtliche Behandlung außermathematischer Probleme allein noch nicht die Qualität von Lehr-Lern-Prozessen erhöht, wird in dieser Arbeit einer speziellen Frage realitätsbezogenen Mathematikunterrichts nachgegangen: Welche Rolle spielt der Sachkontext bei der Aufgabenbearbeitung? Die Mehrzahl bisheriger Studien bezieht sich auf Kinder im Grundschulalter. Dabei zeigt sich relativ einheitlich, dass vertraute Sachkontexte mit guten Leistungen korrespondieren. Die wenigen Studien zu älteren Schülerinnen und Schülern ergeben ein weniger einheitliches Bild: Hier treten auch gegenläufige Effekte auf, die Vertrautheit mit dem Sachkontext wird teilweise als hinderlich beschrieben. Das Ziel dieser Untersuchung ist, eine vertiefte Einsicht in die individuellen Umgehensweisen Jugendlicher mit dem Sachkontext realitätsbezogener Aufgaben zu gewinnen. Methodologisch ist die Arbeit innerhalb qualitativer Ansätze verortet und folgt dort dem interpretativen Paradigma. Die Datenerhebung fand im Rahmen eines dreistufigen Ansatzes bestehend aus Aufgabenbearbeitung, nachträglichem lauten Denken und Interview statt. Mit diesem Vorgehen konnte eine Triangulation verschiedener qualitativer Perspektiven und Methoden realisiert werden. Die Aufgaben unterschieden sich sowohl im Sachkontext als auch im Grad der Notwendigkeit, vereinfachende Annahmen zu formulieren.Die Daten jeder der drei Erhebungsstufen wurden zunächst separat gedeutet. Diese drei Teildeutungen wurden dann interpretierend zusammengeführt. Methodologisch liegt die Separation der Deutungen darin begründet, dass jede Erhebungsstufe eine spezifische Situation darstellt, die Daten einer eigenen Art erzeugt; eine bloß additive Zusammenlegung dieser Daten mit Daten einer anderen Erhebungsstufe ist daher nicht geboten. Die theoretischen Ansätze des situierten Lernens und der soziomathematischen Normen werden in dieser Arbeit zueinander in Beziehung gesetzt. Nach dem Ansatz des situierten Lernens erhält jedes – auch mathematisches – Handeln durch seine soziale und materielle Umgebung einen spezifischen handlungsorientierenden Sinn. Die das mathematische Handeln prägenden Normen – die soziomathematischen Normen – sind Teil dieser Umgebung. Verschiedene Umgebungen generieren somit verschiedene soziomathematische Normen; in diesem Sinne ist von einer Situiertheit soziomathematischer Normen auszugehen.Vor diesem theoretischen Hintergrund konnten die Interpretationen der Daten neu geordnet werden. Insbesondere wurde es möglich, Divergenzen zwischen Teildeutungen innerhalb eines Falles als Effekte der Situiertheit soziomathematischer Normen zu erklären. Es konnte zudem beobachtet werden, dass sich alle Versuchspersonen mit der Frage der Zulässigkeit gewisser Argumentationsweisen – also mit soziomathematischen Normen – auseinandersetzten. Idealtypisch zugespitzt können vier Typen des Umgangs mit dem Sachkontext unterschieden werden: realitätsgebunden (sachkontextuale Argumentation), mathematikgebunden (mathematische Argumentation), integrierend (mathematische und sachkontextuale Argumentation ergänzen sich) und ambivalent; die Umgehensweise nach dem Idealtyp ambivalent ist dadurch charakterisiert, dass eine realitätsbezogene Aufgabe zwar mit ihren Aspekten Mathematik einerseits und Realität andererseits wahrgenommen wird, jedoch eine Ambivalenz hinsichtlich der Frage herrscht, welche Argumentationsweise zulässig ist. So wird zwiespältig agiert: Während intern eine sachkontextnahe Argumentation bevorzugt wird, werden extern mathematiknahe Begründungen favorisiert; beide Argumentationsweisen bleiben dabei unverbunden. Des Weiteren zeigte sich, dass der angebotene Sachkontext einer realitätsbezogenen Aufgabe individuell sehr unterschiedlich rezipiert wird. Die so entstehenden individuellen sachkontextualen Vorstellungen können sich während einer Aufgabenbearbeitung entwickeln, verändern oder neu bilden. Auch impliziert weder die Art der Aufgabe noch der spezielle Sachkontext eine bestimmte Umgehensweise mit dem Sachkontext; es zeigen sich vielmehr auch hier individuell sehr verschiedene Ausprägungen. Für die schulische Praxis weisen die Ergebnisse der Studie auf die Notwendigkeit hin, die im Zusammenhang mit Mathematischer Modellierung relevanten soziomathematischen Normen – etwa gemeinsam mit der Vermittlung von Metawissen über den Modellierungsprozess – zu explizieren. Weiterhin bietet das Wissen über die Individualität sachkontextualer Vorstellungen sowie über die verschiedenen Umgehensweisen mit dem Sachkontext Lehrkräften die Möglichkeit, spezifischer auf den einzelnen Schüler oder die einzelne Schülerin einzugehen.  

Ausgehend von eigenen Unterrichtserfahrungen mit dem Phänomen, dass die unterrichtliche Behandlung außermathematischer Probleme allein noch nicht die Qualität von Lehr-Lern-Prozessen erhöht, wird in dieser Arbeit einer speziellen Frage realitätsbezogenen Mathematikunterrichts nachgegangen: Welche Rolle spielt der Sachkontext bei der Aufgabenbearbeitung? Die Mehrzahl bisheriger Studien bezieht sich auf Kinder im Grundschulalter. Dabei zeigt sich relativ einheitlich, dass vertraute Sachkontexte mit guten Leistungen korrespondieren. Die wenigen Studien zu älteren Schülerinnen und Schülern ergeben ein weniger einheitliches Bild: Hier treten auch gegenläufige Effekte auf, die Vertrautheit mit dem Sachkontext wird teilweise als hinderlich beschrieben. Das Ziel dieser Untersuchung ist, eine vertiefte Einsicht in die individuellen Umgehensweisen Jugendlicher mit dem Sachkontext realitätsbezogener Aufgaben zu gewinnen. Methodologisch ist die Arbeit innerhalb qualitativer Ansätze verortet und folgt dort dem interpretativen Paradigma. Die Datenerhebung fand im Rahmen eines dreistufigen Ansatzes bestehend aus Aufgabenbearbeitung, nachträglichem lauten Denken und Interview statt. Mit diesem Vorgehen konnte eine Triangulation verschiedener qualitativer Perspektiven und Methoden realisiert werden. Die Aufgaben unterschieden sich sowohl im Sachkontext als auch im Grad der Notwendigkeit, vereinfachende Annahmen zu formulieren.Die Daten jeder der drei Erhebungsstufen wurden zunächst separat gedeutet. Diese drei Teildeutungen wurden dann interpretierend zusammengeführt. Methodologisch liegt die Separation der Deutungen darin begründet, dass jede Erhebungsstufe eine spezifische Situation darstellt, die Daten einer eigenen Art erzeugt; eine bloß additive Zusammenlegung dieser Daten mit Daten einer anderen Erhebungsstufe ist daher nicht geboten. Die theoretischen Ansätze des situierten Lernens und der soziomathematischen Normen werden in dieser Arbeit zueinander in Beziehung gesetzt. Nach dem Ansatz des situierten Lernens erhält jedes – auch mathematisches – Handeln durch seine soziale und materielle Umgebung einen spezifischen handlungsorientierenden Sinn. Die das mathematische Handeln prägenden Normen – die soziomathematischen Normen – sind Teil dieser Umgebung. Verschiedene Umgebungen generieren somit verschiedene soziomathematische Normen; in diesem Sinne ist von einer Situiertheit soziomathematischer Normen auszugehen. Vor diesem theoretischen Hintergrund konnten die Interpretationen der Daten neu geordnet werden. Insbesondere wurde es möglich, Divergenzen zwischen Teildeutungen innerhalb eines Falles als Effekte der Situiertheit soziomathematischer Normen zu erklären. Es konnte zudem beobachtet werden, dass sich alle Versuchspersonen mit der Frage der Zulässigkeit gewisser Argumentationsweisen – also mit soziomathematischen Normen – auseinandersetzten. Idealtypisch zugespitzt können vier Typen des Umgangs mit dem Sachkontext unterschieden werden: realitätsgebunden (sachkontextuale Argumentation), mathematikgebunden (mathematische Argumentation), integrierend (mathematische und sachkontextuale Argumentation ergänzen sich) und ambivalent; die Umgehensweise nach dem Idealtyp ambivalent ist dadurch charakterisiert, dass eine realitätsbezogene Aufgabe zwar mit ihren Aspekten Mathematik einerseits und Realität andererseits wahrgenommen wird, jedoch eine Ambivalenz hinsichtlich der Frage herrscht, welche Argumentationsweise zulässig ist. So wird zwiespältig agiert: Während intern eine sachkontextnahe Argumentation bevorzugt wird, werden extern mathematiknahe Begründungen favorisiert; beide Argumentationsweisen bleiben dabei unverbunden. Des Weiteren zeigte sich, dass der angebotene Sachkontext einer realitätsbezogenen Aufgabe individuell sehr unterschiedlich rezipiert wird. Die so entstehenden individuellen sachkontextualen Vorstellungen können sich während einer Aufgabenbearbeitung entwickeln, verändern oder neu bilden. Auch impliziert weder die Art der Aufgabe noch der spezielle Sachkontext eine bestimmte Umgehensweise mit dem Sachkontext; es zeigen sich vielmehr auch hier individuell sehr verschiedene Ausprägungen. Für die schulische Praxis weisen die Ergebnisse der Studie auf die Notwendigkeit hin, die im Zusammenhang mit Mathematischer Modellierung relevanten soziomathematischen Normen – etwa gemeinsam mit der Vermittlung von Metawissen über den Modellierungsprozess – zu explizieren. Weiterhin bietet das Wissen über die Individualität sachkontextualer Vorstellungen sowie über die verschiedenen Umgehensweisen mit dem Sachkontext Lehrkräften die Möglichkeit, spezifischer auf den einzelnen Schüler oder die einzelne Schülerin einzugehen.  

== Auszeichnungen ==

== Auszeichnungen ==