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(0,9 Periode 9) = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9*1+ 0,9*(1/10) + 0,9*(1/100) + ... = Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n.
(0,9 Periode 9) = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9*1+ 0,9*(1/10) + 0,9*(1/100) + ... = Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n.
Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen Summe von n=0 bis ∞ mit a*q^n = a/(1-q) mit 0 < q < 1. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1: Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n = 0,9 / (1 - 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1.
Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen Summe von n=0 bis ∞ mit a*q^n = a/(1-q) mit 0 < q < 1. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1: Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n = 0,9 / (1 - 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1.
== Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9) ==
In der Studie "Mathematik, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)"<ref> Studie von Ludwig Bauer </ref> untersuchte Ludwig Bauer die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl (0,9 Periode 9). Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung vertreten (0,9 Periode 9) < 1, lediglich 30 % entschieden sich für (0,9 Periode 9) = 1. Hieraus kann schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für (0,9 Periode 9) < 1 stimmten <ref> Studie von Ludwig Bauer </ref>. Außerdem ist interessant, dass (0,9 Periode 9) < 1 in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte [[Infinitesimalrechnung]], welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.
'''Schülerargumente für (0,9 Periode 9) < 1''' <ref> Studie von Ludwig Bauer </ref>
" Es fehlt immer noch ein Stückchen"
"(0,9 Periode 9) ist ganz minimal kleiner als 1"
"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"
" (0,9 Periode 9) ergibt nur gerundet 1"
Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen (0,9 Periode 9) und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen (0,9 Periode 9) als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.
'''Schülerargumente gegen (0,9 Periode 9) < 1'''ref> Studie von Ludwig Bauer </ref>
"Das haben wir gelernt"
"Weil es so ist"
"(0,9 Periode 9) = 9/9 = 1"
"Da die (0,9 Periode 9) ims Unendliche geht und sich der 1 annähert, kann man sagen, dass (0,9 Periode 9) = 1 ist."
Insgesamt wirken die Argumentationen hier unsicherer. Sätze, die ähnlich der ersten beiden treten häufiger auf. Dennoch argumentieren einige SuS auch mit den oben erklärten Zugängen und im weitesten Sinne wird eine Annäherung an die Grenzwerte gewagt.