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=== Beweis mit Hilfe des Spezialfalls f=g ===

=== Beweis mit Hilfe des Spezialfalls f=g ===

Eine weitere von Rüthing vorgestellte Beweisidee sieht zunächst den Zwischenschritt des Beweises des Spezialfalles der Produktregel für f=g vor.<ref name="Rüthing" /> Hat man vorher die zweite Potenzfunktion eingeführt, kann hier in einer Analogie die Regel formuliert werden:

Eine weitere von Rüthing vorgestellte Beweisidee sieht zunächst den Zwischenschritt des Beweises des Spezialfalles der Produktregel für <math> f=g </math> vor.<ref name="Rüthing" /> Hat man vorher die zweite Potenzfunktion eingeführt, kann hier in einer Analogie die Regel formuliert werden:

<math> (ff)'=2f'f </math>  

<math> (ff)'=2f'f </math>  

Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen:<br />

Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen:

<math> 2f'(x_{0})f(x_{0})=2\lim{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0})f(x_{0})} </math>

 

= lim (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) * (f(x₀)+f(x₀))= lim (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) *  (f(x)+f(x₀)) = lim ((f*f)(x)-(f*f)(x₀))/(x-x₀)

<math> 2f'(x_{0})f(x_{0})=2 \lim{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f(x_{0})}= \lim{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x_{0})+f(x_{0}))}=\lim{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x)+f(x_{0}))}=\lim{\frac{(ff)(x)-(ff)(x_{0})}{x-x_{0}}}=(ff)' </math>

Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung, möglich: (a*b)=1/4((a+b)²-(a-b)²).  

Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung, möglich: (a*b)=1/4((a+b)²-(a-b)²).