Produktregel

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel im Kalkül der Differentiation der Gestalt (f*g)' = f' * g + f * g'

Sie ist die erste Ableitungsregel, die nicht den „natürlichen Erwartungen der Schüler entspricht, sondern unvorbereitet, erstmalig und komplex auftritt“ . Daher bedarf sie einer besonderen Einführung im Unterricht, der auf verschiedene Weisen erfolgen kann.

Anwendungsbeispiele

Beispiel 1

(f*g)= 5x⁴*2x³
f'= 20x³ g'= 6x²
(f*g)'= 20x³*2x³+5x⁴*6x²= 40x⁶+30x⁶=70x⁶

Durch Vereinfachung des Ausgangsterms wäre auch eine Berechnung der Ableitung ohne die Nutzung der Produktregel möglich gewesen.

(f*g)= 10x⁷
(f*g)'= 70x⁶

Für diese Art der Funktionen stellt die Produktregel also eher nicht das angemessene Berechnungskalkül dar.

Beispiel 2

(f*g)= sin(x)*cos(x)
f' = cos(x) g'= -sin(x)
(f*g)'= cos(x)*cos(x)+sin(x)*(-sin(x))= cos²(x)-sin²(x)

Für diese Form der Aufgabe ist eine Nutzung der Produktregel unabdinglich.

Zugänge

Die Produktregel der Differentiation wird in der Regel im Analysisunterricht der Oberstufe eingeführt. Dem vorausgehend sind zunächst elementare Kenntnisse über den Grenzwert von Funktionen zu vermitteln. Ebenso wird zunächst der Differenzenquotient im unterricht vorgestellt, mit dessen Hilfe sich die ersten Ableitungsregel wie die Summen- und Faktorregel beweisen lassen. Diese beiden Regeln erscheinen den Schülern dabei natürlich und sind mit ihren Erwartungen konform. Die Einführung der Produktregel stellt nun jedoch eine Herausforderung dar, da sich die zunächst angenommene Formel (f*g)'=f'*g' als falsch erweist. Eher unproblematisch ist hingegen die Aussage, dass das Produkt differenzierbar ist, da dies bereits von der Konvergenz her bekannt ist. Nun muss allerdings zunächst eine entsprechende Regel gefunden werden und dere Gültigkeit bewiesen werden. Für die konkrete Einführung der Produktregel sind nun verschiedene Methoden möglich, die sich in ihrem Schwierigkeitsgrad und ihrer Herangehensweise unterscheiden.

Beweismöglichkeit 1

Als elementarster Beweis der Produktregel dient eine Abschätzung des Differentialquotienten im Sinne des Konvergenzbegriffes von Cauchy unter Verwendung der ε-δ-Konvergenz. Dieser Ansatz verfolgt jedoch einen sehr hohen formellen Grad und ist daher für die Schülererarbeitung eher ungeeignet. Im Laufe des Beweises erfolgt eine Nullergänzung, die für die Vorstellung der Schüler nicht zu motivieren ist und daher nur schwer angenommen wird. Weiterhin ist die Stetigkeit der Funktionen bereits in der Einführung der Nullergänzung zu berücksichtigen, was eher zu komplex ist.

Beweismöglichkeit 2

Das Problem der Nullergänzung umgeht man indessen, wenn man von der entsprechenden Regel ausgehend auf den Differenzenquotienten zurückschließt. Hier wandelt sich die Nullergänzung zu einer gewöhnlichen Nullauflösung, die für die Schüler nicht schwer zu durchschauen ist. Die Notierungs- und Denkrichtung liegen hier im Einklang, so dass dieser Beweis didaktisch ebenso vorteilhafter ist, als die in Beweismöglichkeit 1 skizzierte Vorgehensweise. Zu beachten ist hier jedoch, dass ebenso die Stetigkeit der Funktionen bei den Grenzübergängen berücksichtigt werden muss. Das grundlegende Problem der Regelfindung wird durch diesen Beweis jedoch nicht gelöst.