Arnold Kirsch

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Prof. Dr. Arnold Kirsch.* 13. Januar 1922.✝︎ 14. Oktober 2013.
Universität Kassel.
Dissertation: Über Zerlegungsgleichheit von Funktionen und Integration in abstrakten Räumen.


Kurzvita

  • Geboren 1922 in Sagan (Schlesien)
  • 1945 - 1950 Studium Gymnasiallehramt für Mathematik und Physik, Universität Göttingen; 1. Staatsexamen 1950
  • 1951 Studium Universität Bern, Promotion zum Dr. rer. nat. bei Prof. Hugo Hadwiger
  • 1951 - 1953 Referendariat in Hameln und Göttingen; 2. Staatsexamen 1953
  • 1953 - 1963 Studienrat an Gymnasien in Soltau und Göttingen
  • 1963 - 1966 Studienrat im Hochschuldienst bei Prof. Günter Pickert, Universität Gießen
  • 1966 - 1971 Professor für Mathematik und Mathematikdidaktik, Pädagogische Hochschule Göttingen
  • 1971 - 1987 Professor für Mathematik-Didaktik, Universität Kassel
  • 1987 Emeritierung

Arbeitsgebiete

Am 14.10.2013 ist der Kasseler Mathematikdidaktiker Prof. Dr. Arnold Kirsch gestorben. Wie nur wenige hat er seit den 1960er Jahren die mathematikdidaktische Diskussion in Deutschland geprägt und die Praxis des Mathematikunterrichts beeinflusst. Wer heutige Schulbücher aufschlägt, findet in jedem Werk Ideen, die direkt auf Arnold Kirsch zurückgehen und uns heute fast selbstverständlich erscheinen, sei es zum Thema Funktionen (z.B. bei der „Dreisatzrechnung“ oder bei den Exponentialfunktionen), zu den Zahlbereichen (z.B. bei den ganzen oder bei den reellen Zahlen) oder zur Analysis (z.B. beim Integralbegriff oder beim Hauptsatz). Im Folgenden soll sein Wirken noch einmal zusammenfassend gewürdigt werden.

Arnold Kirsch studierte Mathematik und Physik in Göttingen und in Bern, wo er 1951 bei H. Hadwiger promovierte. Nach dem Referendariat unterrichtete er von 1953 bis 1963 als Studienrat an Gymnasien in Soltau und in Göttingen. Bis 1966 war er als Studienrat i.H. bei G. Pickert an der Universität Gießen tätig, dann bis 1971 als Professor für Mathematik und Mathematikdidaktik an der PH Göttingen. 1971 folgte er einem Ruf an die – in jenem Jahr neu gegründete – Gesamthochschule (später Universität) Kassel, wo er bis zu seiner Emeritierung 1987 als Professor für Mathematik-Didaktik gearbeitet hat.

Zu den wichtigsten Arbeiten Arnold Kirschs gehören seine scharfsinnigen didaktisch orientierten mathematischen Sachanalysen, mit denen Lernenden und Lehrenden ein tiefer Einblick in mathematische Stoffinhalte verschafft werden soll. Dies ist der Kern dessen, was üblicherweise „Stoffdidaktik“ genannt wird. Dank Arnold Kirsch und Heinz Griesel, der zusammen mit Kirsch 1971 nach Kassel gekommen war, ließ diese Arbeitsrichtung die Kasseler Hochschule schon in den 70er Jahren zu einem allseits anerkannten Zentrum der Mathematik-Didaktik werden (die „Kasseler Schule der Mathematik-Didaktik“). Es ging Arnold Kirsch bei diesen stoffdidaktischen Arbeiten immer darum, natürliche Zugänge zu erschließen, Grundvorstellungen herauszuarbeiten und inhaltliches Argumentieren zu ermöglichen; kurz: Lernende und Lehrende sollten, so war immer sein Anspruch, Mathematik wirklich verstehen. So lautet auch programmatisch der Titel eines 1987 veröffentlichten Buchs von Kirsch (2. Auflage 1994). Insbesondere seine grundlegenden Analysen zu Proportionalitäten und Antiproportionalitäten (letzteres übrigens eine von ihm kreierte Bezeichnung), zu Wachstumsprozessen und Exponentialfunktionen sowie zu den natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen haben Schulbücher, Lehrpläne und die Praxis des Mathematikunterrichts in allen Schulformen bis heute nachhaltig beeinflusst, ebenso wie seine zahlreichen Arbeiten zur Analysis, so zum Integralbegriff oder zum Hauptsatz.

In den meisten stoffdidaktischen Arbeiten Arnold Kirschs sind auch grundlegende allgemeine fachdidaktische Aspekte enthalten, teils implizit, teils explizit. Hier sind in erster Linie die „Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht“ zu nennen, die er in seinem Hauptvortrag 1976 in Karlsruhe auf der ICME-3 vorstellte. Mit diesem Vortrag ist Arnold Kirsch einer von bisher erst drei deutschen Mathematikdidaktikern, welche zu einem Hauptvortrag auf einem der ICME-Kongresse eingeladen waren. Beim Karlsruher Vortrag ging es um Möglichkeiten des Zugänglichmachens mathematischer Inhalte, was überhaupt die zentrale Fragestellung in Kirschs Werk darstellt. Weitere solche stoffübergreifenden Themen sind z. B. das präformale Beweisen oder das Modellieren.

Arnold Kirschs Hauptinteresse hat stets in erster Linie der intensiven Beschäftigung mit ihn fesselnden Problemen und deren ausgereiften Darstellung gegolten. Insofern war er sicherlich immer ebenso sehr Mathematiker wie Mathematikdidaktiker. Insbesondere zur Geometrie hat er neben fachdidaktischen auch mehrere vielbeachtete fachinhaltliche Arbeiten publiziert, u.a. über eine geometrische Charakterisierung des Differenzierbarkeitsbegriffs. Weiter hat er Arbeiten über lineare Ordnungen und Punktbewertungen veröffentlicht, die u.a. auch eine überraschende Anwendung in der Stochastik erfahren haben.

Neben dem Wissenschaftler war auch der Lehrer Arnold Kirsch immer beeindruckend, der hervorragende und anspruchsvolle Pädagoge, der sich sowohl in seinem Schulunterricht als auch in seinen Hochschulveranstaltungen stets engagiert darum gekümmert hat, dass seine Schülerinnen und Schüler bzw. seine Studentinnen und Studenten Mathematik wirklich verstehen können. Zur Lehrerbildung hat sich Arnold Kirsch auch konzeptionell mehrfach geäußert und dabei betont, wie wichtig die fachliche Souveränität der Lehrkräfte ist und dass Lehrer den intellektuellen Umgang mit Mathematik, den sie ihren Schülern nahe bringen sollen, zuvörderst selber so praktizieren müssen. Auch in seinen zahllosen Vorträgen haben immer die Prägnanz und Klarheit seiner Argumentation und sein Engagement für die Sache beeindruckt und die Zuhörer inhaltlich überzeugt. In diesen Zusammenhang gehört auch seine jahrzehntelange Mitarbeit beim Schulbuchwerk „Mathematik heute“. Hier sind viele Innovationen entstanden, die – zum Teil auch über andere Schulbücher, die Kirschs Ideen vielfach übernommen haben − dann unterrichtlich fruchtbar geworden sind; dies gilt vor allem für die Dreisatzrechnung (Klasse 7), die reellen Zahlen (Klasse 9), die Exponentialfunktionen (Klasse 10) und die Integralrechnung (Klasse 12). Die von Arnold Kirsch verantworteten Schulbuchkapitel waren immer und sind auch heute noch eine Fundgrube für geistreiche Stufengänge wie auch für substanzhaltige Aufgaben (die freilich, da sie teilweise ungewohnt und nicht schematisch zu lösen sind, von Lehrern oft als „zu schwer“ eingestuft werden). Die heute viel beschworene breite „Kompetenzorientierung“ hat sich in diesen Schulbuchkapiteln und den zugehörigen Aufgaben schon substantiiert, lange bevor dieses Wort Einzug in die didaktische Diskussion gehalten hat.

In der Wissenschaftsorganisation war Arnold Kirsch als Herausgeber wissenschaftlicher Zeitschriften (Mathematische Semesterberichte, Journal für Mathematik-Didaktik) und Bücher („blaue Reihe“ bei Vandenhoeck & Ruprecht) oder als Mitglied wissenschaftlicher Beiräte (u.a. bei ZDM, DIFF, GDM und IDM) tätig. Dieses Engagement ist neben dem wissenschaftlichen Werk einer der Gründe, weshalb die GDM sein Wirken 2011 mit der Ehrenmitgliedschaft gewürdigt hat.

Arnold Kirsch war bis ins hohe Alter hinein geistig frisch und trotz seiner durch einen Schlaganfall hervorgerufenen Einschränkungen immer auch körperlich aktiv mit täglichen Spaziergängen. Ein schwerer Sturz und die folgende Operation haben ihn nun zu sehr geschwächt. Seine Freunde, seine Kolleginnen und Kollegen wie auch seine ehemaligen Schülerinnen und Schüler in Schule und Hochschule denken gerne an die so überaus anregenden Gespräche mit ihm zurück, an seine ansteckende Begeisterung für Mathematik, an seine mit unübertroffener Klarheit dargelegten Gedanken zum Lernen von Mathematik. Alle, die Arnold Kirsch begegnen durften, werden sich dankbar an diese Begegnungen erinnern und ihm ein ehrendes Angedenken bewahren.

Veröffentlichungen

Bücher

  • [B1] Elementare Zahlen- und Größenbereiche. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1970, 250 Seiten.
  • [B2] (mit Falk Zech) Affine Geometrie der Ebene. Klett, Stuttgart 1972, 151 Seiten.
  • [B3] Mathematik wirklich verstehen. Eine Einführung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen. Aulis, Köln 1987, 330 Seiten. Zweite, verbesserte Auflage 1994.

Aufsätze in Zeitschriften und Büchern

  • [A1] Über Zerlegungsgleichheit von Funktionen und Integration in abstrakten Räumen. Math. Annalen 124 (1952) 343-363.
  • [A2] (mit Hugo Hadwiger) Zerlegungsinvarianz des Integrals und absolute Integrierbarkeit. Portug. Mathematica 11 (1952) 57-67.
  • [A3] Die Pferchkugel eines Punkthaufens. Ein elementargeometrischer Beweis für den Satz von Jung im räumlichen Falle. MPhSB 3 (1953) 214-217.
  • [A4] Einige Bemerkungen zur Einführung der negativen und gebrochenen Zahlen. MPhSB 5 (1957) 281-284.
  • [A5] Zwei isomorphe Gruppen aus dem Schulstoff der Mittelstufe. MNU 11 (1958/59) 78-80.
  • [A6] Vorschläge zur Orientierung und Beschränkung der Funktionenlehre an der Schule. MNU 12 (1959/60) 16-19.
  • [A7] Eine geometrische Charakterisierung der „Differenzierbarkeit“ einer Funktion. MPhSB 7 (1960) 96-100.
  • [A8] Ein geometrischer Zugang zu den Grundbegriffen der Differentialrechnung. MU 8/2 (1960) 5-21.
  • [A9] Das „Kettenrechnen“ und die affine Gruppe der Geraden. MNU 15 (1962/63) 68-71.
  • [A10] Über die Bedeutung der Relation „zerlegungsgleich“ in der elementaren Flächeninhaltslehre. MPhSB 9 (1963) 190-206.
  • [A11] Über Ordnungshomomorphismen endlicher Boolescher Verbände auf Ketten. Arch. Math. 14 (1963) 84-94.
  • [A12] Endliche Gruppen als Gegenstand für axiomatische Übungen. MU 9/4 (1963) 88-100.
  • [A13] Über die Endomorphismen der endlichen Bewegungsgruppen und ihre Veranschaulichung. MPhSB 11 (1964) 48-70, und in: K.-P. Grotemeyer u.a. (Hrsg.): Mathematik an Schule und Universität. Heinrich Behnke zum 65. Geburtstag gewidmet. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1964, 306-328.
  • [A14] Eine ordnungstheoretische Charakterisierung des elementaren Flächeninhalts. El. Math. (1965) 32-35.
  • [A15] Über die Veranschaulichung einfacher Gruppenhomomorphismen. MU 11/1 (1965) 54-67.
  • [A16] Some Models for Simple Group Homomorphisms. In: New trends in mathematics teaching III, UNESCO o.J., 278-290. (Übersetzung von [A15]).
  • [A17] Die Anordnungseigenschaften der Zahlen als Gegenstand für Axiomatisierungsübungen. MPhSB 13 (1966) 83-105.
  • [A18] Elementare Zahlbereichserweiterungen und Gruppenbegriff. MU 12/2 (1966) 50-66.
  • [A19] Gruppenhomomorphismen im mathematischen Schulstoff. MD 12/2 (1966) 80-94.
  • [A20] Zur axiomatischen Behandlung der natürlichen Zahlen im Unterricht. In: „Les Repercussions de la Recherche Mathématique sur l'Enseignement“, C.I.E.M. Echternach 1965, Luxembourg o.J. (1966) 71-89.
  • [A21] Welche Vorkenntnisse im axiomatischen Denken kann das Gymnasium vermitteln? L'Ens. Math. 12 (1966) 125-129.
  • [A22] Über lineare Ordnungen endlicher Boolescher Verbände. Arch. Math. 17 (1966) 489-491.
  • [A23] Zur Behandlung der reellen Zahlen im Oberstufenunterricht. In: H. Schröder (Hrsg.): Der Mathematikunterricht im Gymnasium. Schroedel, Hannover 1966, 215-227.
  • [A24] Eine geometrische Charakterisierung der Differenzierbarkeit für Funktionen zweier Veränderlicher. El. Math. 22 (1967) 27-34.
  • [A25] Konvexe Figuren als Durchschnitte abzählbar vieler Halbräume. Arch. Math. 18 (1967) 313-319.
  • [A26] Gehören die Peano-Axiome in den Schulunterricht? MU 13/3 (1967) 11-24.
  • [A27] Bemerkungen zum Gebrauch des „entweder-oder“ in der Umgangssprache und in der Mathematik. MU 13/5 (1967) 68-71.
  • [A28] Läßt sich jede „gerechte“ Rangordnung durch eine Punktbewertung erzeugen? MPhSB 15 (1968) 94-101.
  • [A29] (mit Jürgen Linder) Über nichtadditive reduzierbare Reihungen in endlichen Booleschen Verbänden. Arch. Math. 19 (1968) 118-120.
  • [A30] Eine Analyse der sogenannten Schlußrechnung. MPhSB 16 (1969) 41-55, und in: Beiträge zum Mathematikunterricht 1968. Schroedel, Hannover 1969, 75-84, und in: H.G. Steiner (Hrsg.): Didaktik der Mathematik (Wege der Forschung CCCLXI). Wiss. Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, 391-409.
  • [A31] An Analysis of Commercial Arithmetic. Educ. Stud. in: Math. 1 (1969) 300-311 (Übersetzung von [A30]).
  • [A32] „Gerechte“ lineare Ordnungen und Punktbewertungen. MU 15/1 (1969) 64-84.
  • [A33] Die Einführung der natürlichen Zahlen als Operatoren. MPhSB 17 (1970) 57-67, und in Beiträge zum Mathematikunterricht 1969, Teil 2. Schroedel, Hannover 1971, 7-16.
  • [A34] Ein didaktisch orientiertes Axiomensystem der Elementargeometrie. MNU 25 (1972) 139-145.
  • [A35] Venn-Diagramme und freie Boolesche Verbände. MU 18/2 (1972) 15-33.
  • [A36] Die natürliche Topologie der Elementargeometrie. MU18/3 (1972) 56-68.
  • [A37] Ist die Grundriß-Aufriß-Abbildung injektiv? MPhSB 17 (1972) 146-158.
  • [A38] Die Einführung der negativen Zahlen mittels additiver Operatoren. MU 19/1 (1973) 5-39.
  • [A39] Zur Unabhängigkeit des archimedischen vom Intervallschachtelungs-Axiom. MU19/3 (1973) 67-69.
  • [A40] Eineindeutige Zuordnungen im 5. Schuljahr: Begründung des Zahlbegriffs oder Förderung der Kombinationsfähigkeit? Die Schulwarte 1973, 8/9, 29-36, und in: Beiträge zum Mathematikunterricht 1973. Schroedel, Hannover 1974, 143-149.
  • [A41] Eine moderne und einprägsame Fassung der kombinatorischen Grundaufgaben. DdM 1 (1973) 113-130.
  • [A42] Über Ziele der „neuen Mathematik“ in der Schule. Westermanns Pädagogische Beiträge 26 (1974) 155-164, und unter dem Titel „Die 'neue Mathematik' in der Schule - was soll sie“? in: 1. Kasseler Hochschulwoche. Bärenreiter, Kassel 1974, 13-33.
  • [A43] Gehört die Multiplikation vor die Addition? MU 21/1 (1975) 7-18.
  • [A44] Eine „intellektuell ehrliche“ Einführung des Integralbegriffs in Grundkursen. DdM 4 (1976) 87-105.
  • [A45] Vorschläge zur Behandlung von Wachstumsprozessen und Exponentialfunktionen im Mittelstufenunterricht. DdM 4 (1976) 257-284. Kurzfassung in: Beiträge zum Mathematikunterricht 1976. Schroedel, Hannover o.J., 107-115.
  • [A46] Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht. DdM 5 (1977) 87-101, und in: Westermanns Pädagogische Beiträge 29 (1977) 151-157.
  • [A47a] Aspects of Simplification in Mathematics Teaching. In: H. Athen and H. Kunle (Eds): Proceedings of the Third International Congress on Mathematical Education Karlsruhe 1976. Karlsruhe 1977, 98-119 und in: I. Westbury, St. Hopmann and K. Riquarts (Eds): Teaching as a Reflective Practice. The German Didaktik Tradition. Erlbaum, Mahwah, New Jersey 2000. (Übersetzung von [A46])
  • [A47b] Aspectos simplificatorios en la ensenanza de la matemática. In: Conceptos de Matematica XIII (1979) 37-45. (Übersetzung von [A46])
  • [A48] Die Funktionalgleichung f(x + x') = f(x) + f(x') als Thema für den Oberstufenunterricht. MPhSB 24 (1977) 172-187.
  • [A49] Über die „enaktive“ Repräsentation von Abbildungen, insbesondere Permutationen. DdM 5 (1977) 169-194. Kurzfassung in: Beiträge zum Mathematikunterricht 1975, Schroedel, Hannover 1975, 79-85.
  • [A50] (mit Werner Blum) Elementare Behandlung der Exponentialfunktionen in der Differentialrechnung. DdM 5 (1977) 274-288.
  • [A51] Zur Behandlung von Wachstumsprozessen und Exponentialfunktionen in der Unter- und Oberstufe. In: Österreichische Mathematische Gesellschaft, Didaktik-Reihe 1, März 1978, 17-37. (Math. Schriften Kassel, Preprint 1977)
  • [A52] Beziehungen zwischen der Additivität und der Homogenität von Vektorraum-Abbildungen. MPhSB 25 (1978) 207-210.
  • [A53] Polyederfunktionale, die nicht translationsinvariant, aber injektiv sind. El. Math. 33 (1978) 105-107.
  • [A54] Bemerkung zu Hilmar Drygas, „Über multidimensionale Skalierung“. Statist. Hefte 19 (1978) 211-212.
  • [A55] Bemerkungen zur linearen Algebra und analytischen Geometrie in der Sekundarstufe II. In: Materialien und Studien Band 13. IDM Bielefeld 1978, 159-165.
  • [A56] Natürliche und formale Auffassung des Flächeninhalts. PM 21 (1979) 65-69.
  • [A57] Beispiele für „prämathematische“ Beweise. In: W. Dörfler und R. Fischer (Hrsg.): Beweisen im Mathematikunterricht (Schriftenreihe Didaktik der Mathematik Band 2). Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1979, 261-274.
  • [A58] (mit Werner Blum) Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen. MU 25/3 (1979) 6-24. (Math. Schriften Kassel, Preprint Nr. 6/79).
  • [A59] Ein Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff. MU 25/3 (1979) 25-41. (Math. Schriften Kassel, Preprint Nr. 7/79).
  • [A60] Anschauung und Strenge bei der Behandlung der Sinusfunktion und ihrer Ableitung. MU 25/3 (1979) 51-71.
  • [A61] Bemerkung zu R. Hertenberger: Eine problemorientierte Einführung in das Newtonsche Näherungsverfahren im Rahmen einer integrierenden Wiederholung. DdM 7 (1979) 329-330.
  • [A62] Zur Mathematik-Ausbildung der zukünftigen Lehrer - im Hinblick auf die Praxis des Geometrieunterrichts. JMD 1 (1980) 229-256, und in: Zeitschrift für Hochschuldidaktik, Sonderheft S. 3. Wien 1980, 126-155, und als Beilage zu den Mitteilungen der DMV 1980, Heft 1.
  • [A63] Bemerkungen zum Unterscheiden von „wenn - so“ und „also“. PM 22 (1980) 274-277.
  • [A64] Zum Gedenken an Wilhelm Schwan. MSemB 28 (1981) 155-159.
  • [A65] Bemerkungen zu einer Untersuchung des Raumvorstellungsvermögens bei Kindern. JMD 2 (1981) 179-192. (Math. Schriften Kassel, Preprint Nr. 14/80).
  • [A66] Vorschläge zum Arbeiten mit Tabellen bei der unterrichtlichen Behandlung von elementaren Funktionen. In A. Garlichs u.a. (Hrsg.): Unterrichtet wird auch morgen noch. Scriptor, Königstein/Ts. 1982, 307-325.
  • [A67] Der effektive Zinssatz bei Kleinkrediten, Teil 1 und Teil 2. PM. 24 (1982) 65-71, 164-172.
  • [A68] Zuordnungstafeln und Operatorpfeile: Vorschläge zum Arbeiten mit Funktionaleigenschaften statt Funktionstermen. MU 28/3 (1982) 28-49. (Erweiterte Überarbeitung von [A66])
  • [A69] Der effektive Zinssatz bei Kleinkrediten, Teil 3. PM 25 (1983) 73-77. (Math. Schriften Kassel, Preprint Nr. 12/82).
  • [A70] Gewährleisten Punktbewertungen gerechte Urteile? mathematiklehrer 2 - 1983, 32-36, und in: Berichte der Arbeitsgruppe Mathematisierung Heft 1. Kassel Okt. 1981, V 2 bis V 19.
  • [A71] Über eine Bemerkung von Emanuel Röhrl. MU 30/4 (1984) 48-56. (Math. Schriften Kassel, Preprint Nr. 9/83).
  • [A72] Einige Implikationen der Verbreitung von Taschenrechnern für den Mathematikunterricht. JMD 6 (1985) 303-318.
  • [A73] Lineare Funktionen zweier Veränderlicher als erschließender Unterrichtsgegenstand. mathematica didactica 2 (1986) 133-158.
  • [A74] Bemerkung zum Vierecksschwerpunkt. DdM 15 (1987) 34-36.
  • [A75] Günter Pickert und die Didaktik der Mathematik. ZDM 19 (1987) 87-91.
  • [A76] Anschauliche Begründung von Eigenschaften der Winkelfunktionen mittels linearer Funktionen zweier Veränderlicher. In: H. Kautschitsch und W. Metzler (Hrsg.): Medien zur Veranschaulichung von Mathematik (Schriftenreihe Didaktik der Mathematik Band 15). Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1987, 307-312.
  • [A77] Bemerkungen zur „Berechnung“ des effektiven Zinssatzes. Eine Ergänzung zu der Arbeit von Thomas Jahnke. JMD 8 (1987) 321-330.
  • [A78] Über eine „Schönheit der Zahl 60“. In: P. Bender (Hrsg.): Mathematikdidaktik: Theorie und Praxis. Festschrift für Heinrich Winter, Cornelsen, Berlin 1988, 99-102.
  • [A79] Anschauliche Begründung einiger Verfahren der numerischen Mathematik aus der Geometrie der Parabel. MSemB 35 (1988) 197-226. (Math. Schriften Kassel, Preprint Nr. 1/88).
  • [A80] (mit Werner Blum) Das Problem des Graphikers. MU 34/6 (1988) 22-27.
  • [A81] (mit Werner Blum) The Problem of the Graphic Artist. In: W. Blum u.a. (Eds): Applications and Modelling in Learning and Teaching Mathematics. Ellis Horwood, Chichester 1989, 129-135. (Übersetzung von [A 80])
  • [A82] Bemerkungen und Beispiele zum „Reduzieren“ von Fallunterscheidungen. MU 35/2 (1989) 26-35.
  • [A83] (mit F. Rehrmann) Anschauliche Beweise einiger Eigenschaften der Parabel mit Anwendungen in der Numerik. In: H. Kautschitsch und W. Metzler (Hrsg.): Anschauliches Beweisen (Schriftenreihe Didaktik der Mathematik Band 18). Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1989, 187-198.
  • [A84] (mit Werner Blum) Warum haben nicht-triviale Lösungen von f' = f keine Nullstellen? Beobachtungen und Bemerkungen zum „inhaltlich-anschaulichen“ Beweisen. In: Anschauliches Beweisen (siehe [A83]), 199-209. (Math. Schriften Kassel, Preprint 3/89)
  • [A85] Eine „operative“ Behandlung des isoperimetrischen Problems für n-Ecke. DdM 18 (1990) 106-118.
  • [A86] Das Paradoxon von Hausdorff, Banach und Tarski: Kann man es „verstehen“? MSemB 37 (1990) 216-239, und in: Urs Kirchgraber (Hrsg.): Berichte über Mathematik und Unterricht, No. 90-01. ETH Zürich 1990. (Math. Schriften Kassel, Preprint 1/90).
  • [A87] Überraschungen beim „Ausklappen“ nichtkonvexer Vierecke. MNU 43 (1990) 485-489. (Math. Schriften Kassel, Preprint 2/90).
  • [A88] Billigrechner und mathematische Bildung. In: H. Postel u.a. (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen. Festschrift für Heinz Griesel. Hannover 1991, 121-133. Kurzfassung in: Beiträge zum Mathematikunterricht 1990. Franzbecker, Bad Salzdetfurth 1991, 145-148.
  • [A89] (mit Werner Blum) Preformal Proving: Examples and Reflections. Educ. Studies in Math. 22 (1991), 183-203.
  • [A90] Zwei Formeln zur leichten Berechnung der „Taschenrechnersumme“ . PM 33 (1991) 106-109.
  • [A91] Formalismen oder Inhalte? Schwierigkeiten mit linearen Gleichungssystemen im 9.Schuljahr. DdM 19 (1991) 294-308. (Math. Schriften Kassel, Preprint 2/91).
  • [A92] Ein geheimnisvoller Würfel. PM 34 (1992), 18-21.
  • [A93] Anschaulich klar oder nicht? Zum Beweis einer Aussage über konvexe differenzierbare Funktionen. DdM 20 (1992) 222-226.
  • [A94] Zur Jensenschen Ungleichung: Ein „erklärender“ statt nur „beweisender“ Beweis. PM 35 (1993) 136-138, und in: H. Kautschitsch und W. Metzler (Hrsg.): Anschauliche und Experimentelle Mathematik II (Schriftenreihe Didaktik der Mathematik Band 22). Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1994, 199-205.
  • [A95a] (mit Werner Blum) Elementare Behandlung des sogenannten Geburtstagsproblems. PM 36 (1994) 7-10. Übersetzung ins Flämische in: Uitwiskeling 10 (1994) Nr. 4, 1-10.
  • [A95b] Eine plausible und nützliche Näherungsformel für Produkte. PM 36 (1994) 15-16.
  • [A96] Das Problem der täglichen Sonnenscheindauer als Thema für den Mathematikunterricht. DdM 22 (1994) 1-19.
  • [A97] Zur Behandlung des Hubkolbenmotors im Mathematikunterricht. MNU 47 (1994) 216-218.
  • [A98] (mit Werner Blum) Bemerkungen zu einer bekannten „probabilistischen Paradoxie“. In: G. Pickert und I. Weidig (Hrsg.): Mathematik erfahren und lehren. Festschrift für Hans-Joachim Vollrath. Stuttgart 1994, 125-133.
  • [A99] Pathologische Funktionen unter dem „Funktionenmikroskop“. DdM 23 (1995) 18-28.
  • [A100] Anfahren und Bremsen mit dem Auto. Anregungen zu einer elementaren und einsichtigen Behandlung im Mathematikunterricht. PM 37 (1995) 151-158.
  • [A101] „Verstehen des Verstehbaren“ - auch im anwendungsorientierten Mathematikunterricht. DdM 23 (1995) 250-264.
  • [A102] Der Hauptsatz - anschaulich? mathematik lehren Nr. 78 (Okt. 1996) 55-59.
  • [A103] (mit Werner Blum) Die beiden Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung. mathematik lehren Nr. 78 (Okt. 1996) 60-65.
  • [A104] Kritisches und Konstruktives zum Extremumproblem „Verkehrsdurchsatz“. PM 38 (1996) 220-225.
  • [A105] Übergangsbögen bei Eisenbahngleisen als Thema für den Mathematikunterricht. MNU 50 (1997) 144-150.
  • [A106] Ein Beweis der Mittelungleichung – „im Kopf“ nachzuvollziehen. Mathematik in der Schule 35 (1997) 483-486 (Überarbeitung von [S32]).
  • [A107] Die Ableitung des Kugelvolumens: Verstehen und Verallgemeinern. In: Ch. Selter und G. Walter (Hrsg.): Mathematikdidaktik als design science. Festschrift für Erich Christian Wittmann. Leipzig 1999, 120-127.
  • [A108] Effektivzins- und Rendite-Angaben verstehen und nachprüfen. PM 41 (1999) 241-246.
  • [A109] Der Füllgraph eines auf der Spitze stehenden Würfels. In: L. Flade und W. Herget (Hrsg.): Mathematik. Lehren und Lernen nach TIMSS. Festschrift für Werner Walsch. Berlin 2000, 169-175.
  • [A110] „Die aufgehängte Erdkugel“ - mehr Durchblick mit Näherungsrechnung? PM 44 (2002) 82-83.
  • [A111] Systematischer Aufbau der „voll-symmetrischen“ Archimedischen Polyeder. PM 44 (2002) 227-229.
  • [A112] Proportionalität und „Schlussrechnung“ verstehen. mathematik lehren Nr. 114 (Okt. 2002), 6-9.

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