Relation

Übersicht ^[1]

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet. ^[2] Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa $A$ und $B$ genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie $a$ zu $b$ „in Beziehung steht“, falls $a\in A$ und $b\in B$ gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {{a}^{2}}=2b-1} oder eine Ungleichung wie Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 3a<2{\sqrt {b}}} beschrieben werden.
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit $R$ bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,b)} aus der „Produktmenge“ Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\times B} gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\times B} als eine „Relation zwischen $A$ und $B$ “ – oder genauer: als eine „Relation von $A$ nach $B$ “ – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\times B} anstelle von $A$ und $B$ beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\times B} als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen – und vor allem situativ zu beachten und unterscheiden!

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,b)} bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit $\{a,b\}$ bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,b)} als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch elegant zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A,B,R} Mengen und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n\in {{\mathbb {N} }^{}}{\text{ }}\!\!\backslash \!\!{\text{ }}\{1\}} ( also Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n>1}* ).
Für beliebige Objekte Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle a,b} gilt: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,b)} heißt „geordnetes Paar“. Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b} gilt. Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,b)} lässt sich rekursiv zum geordneten $n$ -Tupel $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})$ verallgemeinern. Spezielle Namen sind für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n=3} „Tripel“ und für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n=4} „Quadrupel“.
$A\times B:=\{(a,b)\|a\in A\wedge b\in B\}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\times B} heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von $A$ und $B$ ). Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\times B} lässt sich rekursiv zu Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}} verallgemeinern.
$R$ ist genau dann eine $n$ -stellige Relation, wenn $R$ aus geordneten $n$ -Tupeln besteht.	2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen aus geordneten Paaren.
$R$ ist genau dann eine Relation von $A$ nach $B$ , wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle R\,\subseteq \,A\,\times \,B} gilt.	Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
$R$ ist genau dann eine Relation in $A$ , wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle R\,\subseteq \,A\,\times \,A} gilt.	Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart:: $xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R$

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen ^[3]

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle M,R} seien Mengen, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle R\neq \varnothing } und $R\subseteq M\times M$ .	Die nachfolgenden Erläuterungen deuten $xRy$ als einen „Pfeil* von $x$ nach $y$ “*.
$R$ ist symmetrisch Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle :\Leftrightarrow } Es gilt für alle Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x,y:} wenn $xRy$ , dann Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle yRx} .	Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen: also keine Einbahnstraßen (ungerichteter Graph).
$R$ ist asymmetrisch Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle :\Leftrightarrow } Es gilt für alle Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x,y:} wenn $xRy$ , dann nicht Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle yRx} .	Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung: nirgends Schleifen, also höchstens Einbahnstraßen (gerichteter Graph).
$R$ ist identitiv Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle :\Leftrightarrow } Es gilt für alle $x,y:$ wenn $xRy$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle yRx} , dann $x=y$ .	Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung: Schleifen möglich. ^[4]
$R$ ist transitiv Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle :\Leftrightarrow } Es gilt für alle Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x,y,z:} wenn $xRy$ und $yRz$ , dann $xRz$ .	Wenn eine mittelbare Verbindung, dann auch eine unmittelbare (also direkte und damit kürzeste): Existenz von Überbrückungspfeilen.
$R$ ist reflexiv in $M$ Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle :\Leftrightarrow } Es gilt für alle Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x\in M:} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle xRx} .	Überall Schleifen.
$R$ ist irreflexiv in $M$ Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle :\Leftrightarrow } Es gilt für alle $x\in M:$ nicht Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle xRx} .	Nirgends Schleifen.
$R$ ist konnex in $M$ Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle :\Leftrightarrow } Es gilt für alle Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x,y\in M:} $xRy$ oder Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle yRx} .	Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung: überall Schleifen. ^[5]

Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in $M$ “, was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

↑ Die gesamte Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].
↑ Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.
↑ Veranschaulichungen und weitere Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]
↑ Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.
↑ Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „connecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Horst Hischer (2018): Relation. Version vom 2.04.2018. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Relation&oldid=29797.

[1] Die gesamte Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].

[2] Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.

[3] Veranschaulichungen und weitere Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]

[4] Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.

[5] Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „connecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.

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