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In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktion|Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet.

In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktion|Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet.

In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll scheint.

In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll erscheint.

==Definitionen<ref name="weigwww">[[Hans-Georg Weigand]]: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)</ref>==

==Definitionen<ref name="weigwww">[[Hans-Georg Weigand]]: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)</ref>==

<br/><math>a_n=f(a_{n-1},...)</math>,

<br/><math>a_n=f(a_{n-1},...)</math>,

''z.B. Fibonacci-Folge''<br />

''z.B. [[Leonardo Fibonacci von Pisa|Fibonacci]]-Folge''<br />

<math>\begin{eqnarray}

<math>\begin{eqnarray}

a_n&=&a_{n-2}+a_{n-1},\\

a_n&=&a_{n-2}+a_{n-1},\\

==Beispiele für Zahlenfolgen==

==Beispiele für Zahlenfolgen==

==Arithmetische Zahlenfolgen==

===Arithmetische Zahlenfolgen===

Bei arithmetischen Folgen (erster Ordnung) bleibt die Differenz benachbarter Folgenglieder konstant:

Bei arithmetischen Folgen (erster Ordnung) bleibt die Differenz benachbarter Folgenglieder konstant:

<math>a_n-a_{n-1}=d=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}+d.</math> Durch sukzessives Einsetzen der Vorgängerglieder erhält man eine funktionale Darstellung: <math>a_n=f(a_{n-1})=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=a_{n-2}+2d=\dots=a_0+nd=f(n).</math><br />Die Bezeichnung "arithmetisch" leitet sich davon ab, dass von drei benachbarten Gliedern einer arithmetischen Folge das mittlere immer das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist:

<math>a_n-a_{n-1}=d=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}+d.</math> Durch sukzessives Einsetzen der Vorgängerglieder erhält man eine funktionale Darstellung: <math>a_n=f(a_{n-1})=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=a_{n-2}+2d=\dots=a_0+nd=f(n).</math><br />Die Bezeichnung "arithmetisch" leitet sich davon ab, dass von drei benachbarten Gliedern einer arithmetischen Folge das mittlere immer das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist:

<math>s_{n+1}-s_n=\sum_{i=0}^{n}a_i-n^2=\sum_{i=0}^{n-1}a_i+a_{n}-n^2=n^2+(1+2n)-n^2=1+2n.</math><br  />

<math>s_{n+1}-s_n=\sum_{i=0}^{n}a_i-n^2=\sum_{i=0}^{n-1}a_i+a_{n}-n^2=n^2+(1+2n)-n^2=1+2n.</math><br  />

Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Folge der Abstände zweier Quadratzahlen bildet demnach eine arithmetische Folge. Die Quadratzahlen gehören deshalb zu den arithmetischen Folgen zweiter Ordnung. Nicht die Differenz der Qudratzahlen selbst ist eine konstante Zahl d, sondern die Differenz der Abstände von je zwei Quadratzahlen ist eine konstante Zahl d.<br />

Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Folge der Abstände zweier Quadratzahlen bildet demnach eine arithmetische Folge. Die Quadratzahlen gehören deshalb zu den arithmetischen Folgen zweiter Ordnung. Nicht die Differenz der Qudratzahlen selbst ist eine konstante Zahl d, sondern die Differenz der Abstände von je zwei Quadratzahlen ist eine konstante Zahl d.<br />

==Geometrische Zahlenfolgen==

 

===Geometrische Zahlenfolgen===

Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant:

Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant:

<math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=q=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}\cdot q.</math><br />Eine funktionale Darstellung ist gegeben durch:

<math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=q=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}\cdot q.</math><br />Eine funktionale Darstellung ist gegeben durch:

<math>\sqrt{|a_{n+1}||a_{n-1}|}=\sqrt{|q\cdot a_n||\frac{a_n}{q}|}=\sqrt{|a_n|^2}=|a_n|.</math> <br/>

<math>\sqrt{|a_{n+1}||a_{n-1}|}=\sqrt{|q\cdot a_n||\frac{a_n}{q}|}=\sqrt{|a_n|^2}=|a_n|.</math> <br/>

'''Beispiel DIN-Formate für Papier'''

'''Beispiel DIN-Formate für Papier'''<br />

Beginnend von der Größe A0 (84,1 x 118,9 cm) halbiert man jeweils die längere Seite um zur nächstkleineren Größe A1, A2, ... zu gelangen. Betrachtet man nur die Änderungen der Seitenlängen bilden diese jeweils geometrische Folgen mit dem Faktor <math>q=\frac{1}{2}.</math>

Beginnend von der Größe A0 (84,1 x 118,9 cm) halbiert man jeweils die längere Seite um zur nächstkleineren Größe A1, A2, ... zu gelangen. Betrachtet man nur die Änderungen der Seitenlängen bilden diese jeweils geometrische Folgen mit dem Faktor <math>q=\frac{1}{2}.</math><br />

==Zusammenhang mit Unendlichkeit==

==Zusammenhang mit Unendlichkeit==

*Artin, E.: ''A Freshmen Honors Course in Calculus and Analystic Geometry''. Virginia 1957.

*Artin, E.: ''A Freshmen Honors Course in Calculus and Analystic Geometry''. Virginia 1957.

*Baierlein M. u. a.: ''Anschauliche Analysis''. Ehrenwirth-Verlag 1979.

*Baierlein M. u. a.: ''Anschauliche Analysis''. Ehrenwirth-Verlag 1979.

*Blum W. u. Kirsch A.: ''Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen''. MU (1979), H. 3, S. 6- 24.

*[[Werner Blum|Blum W.]] u. [[Arnold Kirsch|Kirsch A.]]: ''Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen''. [[MU]] (1979), H. 3, S. 6- 24.

*Griesel H.: ''Analysis I''. Hannover 1968.

*[[Heinz Griesel|Griesel H.]]: ''Analysis I''. Hannover 1968.

*Lang S.: ''A first Course in Calculus''. Amsterdam u. a. 1973.

*Lang S.: ''A first Course in Calculus''. Amsterdam u. a. 1973.

*Oehler H., FLADT K.: ''Lehr- und Übungsbuch der Analysis''. Stuttgart 1927.

*Oehler H., FLADT K.: ''Lehr- und Übungsbuch der Analysis''. Stuttgart 1927.

*Pickert G.: ''Die Einführung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs in der Schule. L'Enseignement Mathématique 8 (1962)''. Seite 303 - 310.

*[[Günter Pickert|Pickert G.]]: ''Die Einführung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs in der Schule. L'Enseignement Mathématique 8 (1962)''. Seite 303 - 310.

*Reidt F., WOLFF G.: ''Die Elemente der Mathematik. Bd. II, Oberstufe''. Berlin 1927.  

*Reidt F., WOLFF G.: ''Die Elemente der Mathematik. Bd. II, Oberstufe''. Berlin 1927.  

*Schröder H., Uchtmann H.: ''Einführung in die Mathematik. Analysis''. Frankfurt u. a. 1972.

*Schröder H., Uchtmann H.: ''Einführung in die Mathematik. Analysis''. Frankfurt u. a. 1972.

*Baumann R.: ''Folgen, Grenzwert, Ableitung. Kurs im 11. Schuljahr''. Inf. Math.unterr. 5 (1980). H. 2, S. 1 - 22.

*Baumann R.: ''Folgen, Grenzwert, Ableitung. Kurs im 11. Schuljahr''. Inf. Math.unterr. 5 (1980). H. 2, S. 1 - 22.

*Danckwerts R., Vogel D.: ''Wo gehören die Folgen hin?''. MU 32 (1986). H. 2, S. 52 - 58.

*[[Rainer Danckwerts|Danckwerts R.]], Vogel D.: ''Wo gehören die Folgen hin?''. MU 32 (1986). H. 2, S. 52 - 58.

*Czech W.: ''Motivierende Aufgaben zum Unterrichtsthema "Folgen" ''. PM 23 (1981), S. 202 - 206

*Czech W.: ''Motivierende Aufgaben zum Unterrichtsthema "Folgen" ''. [[PM]] 23 (1981), S. 202 - 206

*Fricker F.: ''Zur Begründung der Exponentialfunktion über Folgen''. PM 23 (1981), S. 44 - 48.

*Fricker F.: ''Zur Begründung der Exponentialfunktion über Folgen''. PM 23 (1981), S. 44 - 48.

*Häberlein F.: ''Zahlenfolgen in Klasse 5''. PM 19 (1977), S. 121 - 126.

*Häberlein F.: ''Zahlenfolgen in Klasse 5''. PM 19 (1977), S. 121 - 126.

*Rüthing D.: ''Zur Einführung der Exponentialfunktion über Folgen II''.PM 21 (1979), S. 105 - 108.

*Rüthing D.: ''Zur Einführung der Exponentialfunktion über Folgen II''.PM 21 (1979), S. 105 - 108.

*Vogel A.: ''Differenzengleichungen im MU''. DdM 12 (1984), H. 3, S. 165 - 184.

*Vogel A.: ''Differenzengleichungen im MU''. DdM 12 (1984), H. 3, S. 165 - 184.

*Beutelspacher A., Petri: ''Der Goldene Schnitt''

*[[Albrecht Beutelspacher|Beutelspacher A.]], Petri: ''Der Goldene Schnitt''

*Walser H.: ''Der Goldene Schnitt''. Leipzig 1993.

*Walser H.: ''Der Goldene Schnitt''. Leipzig 1993.

*Schmidt G.: ''Die Tennisballpyramide''. MU (1997), H. 2, S 38ff.

*Schmidt G.: ''Die Tennisballpyramide''. MU (1997), H. 2, S 38ff.