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Baustelle:Funktion (Quelltext anzeigen)

Version vom 17. August 2013, 10:45 Uhr

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: weiterhin z. B.: ''„der Weg ist eine Funktion der Zeit“'' – ''es wird eine Parabel als „quadratische Funktion“ bezeichnet'' – ''es wird eine Wertetabelle als „Funktion“ bezeichnet'' – ...

Strengen formalen Ansprüchen hält nur die Formulierung ''„die Funktion <math>f</math>“'' stand, mit Abstrichen auch noch ''„die Funktion <math>x\mapsto f(x)</math>“''. Somit scheint es kein einheitliches Begriffsverständnis dessen zu geben, was eine „Funktion“ ist. Dieser Verdacht wird genährt, wenn man berücksichtigt, dass z. B. (auch in der Mathematik) in zunehmendem Maße (wieder!) von „Funktionen mit mehreren Veränderlichen“ gesprochen wird (etwa bei Titeln von Lehrbüchern oder von Vorlesungen) – und dabei hat eine Funktion in strenger Begriffsauffassung (als rechtseindeutige [[Relation]]) gar keine Veränderlichen (korrekt wäre hier: „einstellige“ bzw. „mehrstellige“ Funktionen). Diese Sprechweise weist aber darauf hin, dass solche Autoren neuerdings Funktionen wieder als Terme auffassen, also der Sprechweise „die Funktion <math>f(x)</math>“ zuneigen – wie es bis etwa zur Mitte des 20. Jahrhunderts üblich war. Spürt man dem in Gesprächen mit Mathematikern nach, so wird diese Vermutung insofern bestätigt, als dass das, was für sie eine Funktion ist, von dem Kontext abhängt, in dem sie forschend tätig sind:

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Beispielsweise sind für viele Numeriker (kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ und „Tabelle“ Synonyme, oder sie identifizieren (ebenfalls kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ mit „Term“. Und man findet (z. B. in der Analysis) die Auffassung, Funktionen seien spezielle Abbildungen, und zwar von <math>{{\mathbb{R}}^{n}}</math> in <math>\mathbb{R}</math>. „[[Abbildung]]“ ist dann lediglich eine „eindeutige [[Zuordnung]]“ im Sinne eines undefinierten und unmittelbar einleuchtenden Grundbegriffs, womit dann „Funktion“ und „Abbildung“ – im Gegensatz zur mengentheoretisch begründeten Auffassung – z. T. nicht identifiziert werden. Für Zahlentheoretiker sind Funktionen oft nur Abbildungen von <math>\mathbb{Z}</math> in <math>\mathbb{R}</math> oder in <math>\mathbb{C}</math>, weil sie im Wesentlichen nur solche Funktionen untersuchen. Und die Bezeichnung „Funktionentheorie“ ist mitnichten eine „Theorie der Funktionen“ im Sinne der Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger [[Relation]]“. Vielmehr verweist diese Bezeichnung auf ein historisches Verständnis von „Funktion“.

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Beispielsweise sind für viele Numeriker (kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ und „Tabelle“ Synonyme, oder sie identifizieren (ebenfalls kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ mit „Term“. Und man findet (z. B. in der Analysis) die Auffassung, Funktionen seien spezielle Abbildungen, und zwar von <math>{{\mathbb{R}}^{n}}</math> in <math>\mathbb{R}</math>. „[[Abbildung]]“ ist dann lediglich eine „eindeutige [[Zuordnung]]“ im Sinne eines undefinierten und unmittelbar einleuchtenden Grundbegriffs, womit dann „Funktion“ und „Abbildung“ – im Gegensatz zur mengentheoretisch begründeten Auffassung – z. T. nicht identifiziert werden. Für Zahlentheoretiker sind Funktionen oft nur Abbildungen von <math>\mathbb{Z}</math> in <math>\mathbb{R}</math> oder in <math>\mathbb{C}</math>, weil sie im Wesentlichen nur solche Funktionen untersuchen. Und die Bezeichnung „Funktionentheorie“ ist mitnichten eine „Theorie der Funktionen“ im Sinne der Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger [[Relation]]“. Vielmehr verweist diese Bezeichnung auf ein historisches (und überkommenes?) Verständnis von „Funktion“.

Physiker nennen z. B. die Gleichung <math>s=s(t)</math> eine „Weg-Zeit-Funktion“, obwohl hier die Variable <math>s</math> in zwei formal unterschiedlichen und unvereinbaren Rollen auftritt. Andererseits kommt in dieser Formulierung eine sehr schöne und inhaltlich sehr reichhaltige Auffassung zum Ausdruck, die in einer formal einwandfreien (und dann auch aufgeblähten!) Darstellung verloren gehen würde. Physiker werden es sich auch nicht nehmen lassen, <math>\Psi (x,t)</math> als „Wellenfunktion“ zu bezeichnen, und sie werden beispielsweise die für sie schöne Formulierung <math>U=U(t)</math> verwenden, um damit auszudrücken, dass die „Spannung eine Funktion der Zeit“ sei. Zusammengefasst: Im physikalischen Kontext ist eine solche Sichtweise von „Funktion“ nicht nur nachvollziehbar, sondern gewiss auch sinnvoll und situationsadäquat, im rein mathematischen Kontext ist sie aber kaum tragbar – und beide Standpunkte haben ihre Berechtigung. Ein Paradoxon?

So scheint es in der Mathematik, diesem Prototyp der exakten Wissenschaften, keine einheitliche Auffassung dessen zu geben, was eine Funktion ist. Das lässt sich sowohl durch individuelle Umfragen als auch durch einen Blick in die aktuelle Lehrbuchliteratur belegen. Und dennoch bezeichnet „Funktion“ einen wesentlichen Grundbegriff der Mathematik, der in nahezu allen Teilgebieten und auch in den Anwendungen der Mathematik vorkommt, und zwar gerade wegen dieser Uneinheitlichkeit! Genauer:

Der mit „Funktion“ bezeichnete Begriff weist u. a. wegen der hier skizzierten Vagheit eine große Reichhaltigkeit auf, wie es für ''fundamentale Ideen'' der Mathematik typisch ist. Zugleich weisen die oben angedeuteten Formulierungen, die einen unterschiedlichen Gebrauch des Wortes „Funktion“ aufzeigen, auf einen gemeinsamen Kern von Eigenschaften hin, die den mit „Funktion“ bezeichneten mathematischen Begriff ausmachen, was wie folgt beschreibbar ist:

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~~: <big>~~Funktionen haben viele Gesichter, in denen sie uns begegnen.~~</big~~> <ref>[Hischer 2012, 129] mit Bezug auf den Artikel [Herget et al. 2000].</ref>

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* Funktionen haben viele Gesichter, in denen sie uns begegnen.> <ref>In [Hischer 2012, 129] mit Bezug auf den Artikel [Herget et al. 2000] formuliert.</ref>

== Zur kulturhistorischen Begriffsgenese <ref>Vgl. hierzu die ausführliche Darstellung in [Hischer 2012, 130 ff.].</ref> ==

===Problematisierung===

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Wo liegen die kulturhistorischen Wurzeln des mathematischen Funktionsbegriffs, und wie hat dieser sich Laufe der Geschichte der Mathematik entwickelt? Dieser Aspekt ist auch für die ontogenetische Entwicklung eines Begriffs im Individuum ~~bedeutsam.~~ <ref>Vgl. [Hischer 2012, Kapitel 1].</ref> Dabei geht es nicht darum, wann und unter welchen Bedingungen das Wort „Funktion” in der Mathematik auftauchte (was schnell auf [http://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Leibniz] und [http://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli Jakob I Bernoulli] führen würde, jedoch nicht weiterhilft). Vielmehr geht es um die mit dem Funktionsbegriff intendierten ''Inhalte'', denn es ist zwischen dem ''Begriffsnamen'' und dem ''Begriffsinhalt'' zu unterscheiden! Solche Inhalte ergeben sich anhand der oben angedeuteten

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Wo liegen die kulturhistorischen Wurzeln des mathematischen Funktionsbegriffs, und wie hat dieser sich Laufe der Geschichte der Mathematik entwickelt? Dieser Aspekt ist auch für die ontogenetische Entwicklung eines Begriffs im Individuum <ref>Vgl. [Hischer 2012, Kapitel 1].</ref> bedeutsam. Dabei geht es nicht darum, wann und unter welchen Bedingungen das Wort „Funktion” in der Mathematik auftauchte (was schnell auf [http://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Leibniz] und [http://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli Jakob I Bernoulli] führen würde, jedoch nicht weiterhilft). Vielmehr geht es um die mit dem Funktionsbegriff intendierten ''Inhalte'', denn es ist ''zwischen dem '''Begriffsnamen''' und dem '''Begriffsinhalt''' zu unterscheiden!'' Solche Inhalte ergeben sich anhand der oben angedeuteten

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'''Erscheinungsformen von Funktionen''' in Gestalt „vieler Gesichter“:

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'''Erscheinungsformen von Funktionen''' in Gestalt „vieler Gesichter“, z. B.:

* eindeutige [[Zuordnung]]

* Abhängigkeit einer [[Größe]] (als einer „abhängigen Variablen“) von einer anderen (als einer „unabhängigen Variablen“), speziell auch zeitabhängige Größen

Zeile 23: Zeile 23:

Legt man diese offen gehaltene Liste zugrunde, so begegnet uns der Funktionsbegriff erstmalig in einigen numerischen Tabellen bei den Babyloniern im 19. Jh. v. Chr., und es ergibt sich folgende grobe Zeittafel:

===Zeittafel===

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'''Stationen der kulturhistorischen Entwicklung des Funktionsbegriffs''' <ref>~~Aus~~ [Hischer 2012, 131], dort im Anschluss ~~ausführlich dargestellt~~.</ref>

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'''Stationen der kulturhistorischen Entwicklung des Funktionsbegriffs''' <ref>Vgl. die Zeittafel in [Hischer 2012, 131] und dort die ausführliche Darstellung im Anschluss daran.</ref>

{| class="wikitable"

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Zeile 42: Zeile 42:

| 18. Jh. || • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli Johann I Bernoulli]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]''': Funktion ''„als analytischer Ausdruck“'', d. h.: als ''„Term“''

• '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]''': Funktion als ''„freihändig gezeichnete Kurve“''

−

• '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert Johann Heinrich Lambert]''' und andere: ''graphische Darstellung empirischer ~~Zusammenhänge~~'' ~~(als~~ ''~~Funktionsgraph~~'')

+

• '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert Johann Heinrich Lambert]''' und andere: graphische Darstellung empirischer gewonnener Daten durch ''Funktionsgraph'' ''(„Kurve“)''

• '''[http://de.wikipedia.org/wiki/William_Playfair William Playfaire]''': „Lineare Arithmetik“ zur Darstellung empirischer Daten durch ''Balkendiagramme'' und ''Kreisdiagramme''

|-

| 19. Jh. || • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Joseph Fourier]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet Peter Gustav Lejeune Dirichlet]''' <ref>Aussprache: „Dirischle“ mit offenem „e“ wie in „Bett“, also: [http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_IPA-Zeichen diʀiˈʃleː] (nicht aber wie meist üblich „Dirikle“); Quelle: Meyers Konversationslexikon, 5. Band, Leipzig/Wien: Bibliographisches Institut, 1895, S. 27; siehe dazu auch die begründenden Erläuterungen in [Hischer 2012, 149 ff.].</ref>, '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind Richard Dedekind]''':

−

: Funktion (Abbildung) als ''eindeutige Zuordnung'' (nicht mehr notwendig termdefiniert)

+

: Funktion (Abbildung) als ''eindeutige Zuordnung'' (wesentlich: sie ist nicht mehr notwendig termdefiniert!)

• [http://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Du_Bois-Reymond '''Paul Du Bois-Reymond''']: Funktion als ''Tabelle''

• '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Peano Guiseppe Peano]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Sanders_Peirce Charles Sanders Peirce]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Schr%C3%B6der_(Mathematiker) Ernst Schröder]''': Relation als ''Menge geordneter Paare''

Zeile 53: Zeile 53:

|-

| seit Ende des 20. Jhs. || • ... die große Vielfalt ???

−

• ... viele ~~Gesichter~~ von Funktionen ???

+

• ... viele „Gesichter“ von Funktionen ???

|}

Zeile 61: Zeile 61:

:: [...] Funktionen im Sinne von Fourier und Dirichlet müssen weder differenzierbar noch stetig sein.

−

<div id="nicht termdefinierbar"</div>Es ist zu beachten, dass damit bei '''Fourier''' und '''Dirichlet''' Funktionen ertsmalig nicht mehr (wie bei Euler) einem „Bildungsgesetz“ gehorchen müssen, weil sie ''nicht mehr termdefinierbar'' sein müssen (was für empirische Funktionen der „Normalfall“ ist).

+

<div id="nicht termdefinierbar"></div>Es ist zu beachten, dass damit bei '''Fourier''' und '''Dirichlet''' Funktionen ertsmalig nicht mehr (wie bei Euler) einem „Bildungsgesetz“ gehorchen müssen, weil sie ''nicht mehr termdefinierbar'' sein müssen (was für empirische Funktionen der „Normalfall“ ist).

Auch Richard '''Dedekind''' fasst Funktionen als eindeutige Zuordnungen auf, verwendet aber die Bezeichnung „Abbildung“, wobei er noch von einem „Gesetz“ spricht. <ref>Vgl. [Hischer 2012, 153]</ref>

Paul '''Du Bois-Reymond''' erfasst den Aspekt der eindeutigen Zuordnung durch die Auffassung von „Funktion als Tabelle“ (wie bei den Babyloniern), was Felgner wie folgt kommentiert: <ref>[Felgner 2002, 626]; zitiert bei [Hischer 2012, 152] in Verbindung mit dem Originaltext von Du Bois-Reymond.</ref>

Zeile 89: Zeile 89:

! vorausgehende Definitionen !! ''Erläuterungen''

|-

−

| Es sei <math>R</math> eine (binäre) Relation, <math>R\ne \varnothing</math>. Dann gilt: || <math>R</math> ist also eine Menge von geordneten Paaren, z. B. <math>R\subseteq A\times B</math> mit der nicht leeren ''~~Ausgangsmenge~~'' <math>A</math> und der nicht leeren ''~~Zielmenge~~'' <math>B</math>.

+

| ''Voraussetzung:'' Es sei <math>R</math> eine (binäre) Relation, <math>R\ne \varnothing</math>. Dann gilt: || <math>R</math> ist also eine Menge von geordneten Paaren, z. B. <math>R\subseteq A\times B</math> mit der nicht leeren ''„Ausgangsmenge“'' <math>A</math> und der nicht leeren ''„Zielmenge“'' <math>B</math>.

(Man kann ggf. auch „leere Relationen“ und damit auch „leere Funktionen“ betrachten.)

|-

Zeile 116: Zeile 116:

oder: „das <math>y</math> wird dem <math>x</math> zugeordnet“

oder: „aus <math>x</math> wird <math>y</math>“,

−

aber nicht : „<math>x</math> wird zugeordnet <math>y</math>“ (weil nicht klar, wer wem zugeordnet wird).

+

aber nicht : „<math>x</math> wird zugeordnet <math>y</math>“ (weil dann nicht klar ist, wer wem zugeordnet wird).

|-

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls <math>x\mapsto y</math> bezüglich der Funktion <math>f</math> gilt, dann ist:: <math>f(x):=y</math> || <math>f(x)</math> heißt dann '''Funktionswert''' von „<math>x</math> bezüglich <math>f</math>, gelesen: „f von x“.

Zeile 147: Zeile 147:

* Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, also <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math>, wird ''jedem Elemente der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge'' zugeordnet, so dass also <math>f\,:A\to B</math> gilt. Es bietet sich an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben).

* Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o).

−

* Es ist zu beachten, dass bei Funktionen <math>f(x)</math> (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) nicht notwendig ein [[Term]] sein muss, so dann man hier also auch nicht von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. ~~Ganu~~ anders ist die Situation bin [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die nur die Darstellung termdefinierter Funktionen ermöglichen können.

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* Es ist zu beachten, dass bei Funktionen <math>f(x)</math> (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) nicht notwendig ein [[Term]] sein muss, so dann man hier also auch nicht von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganz anders ist die Situation bin [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die nur die Darstellung termdefinierter Funktionen ermöglichen können.

−

* Wenn nun <math>y=f(x)</math> gilt, so nennt man dies eine '''Funktionsgleichung'''.

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* Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle darstellen. Aber das ist auch bei nicht endlichem Definitionsbereich möglich, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei <math>f(n)</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> die <math>n</math>-te Dezimalstelle von <math>pi</math>, also <math>f(0)=3</math>, <math>f(1)=1</math>, <math>f(2)=4</math> ..., dann lässt sich dies mit einer unendlichen Tabelle erfassen.

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* Wenn nun <math>y=f(x)</math> gilt und <math>f(x)</math> für alle betrachteten <math>x</math> ein [[Term]] ist, so nennt man dies eine '''Funktionsgleichung'''.

====Funktionsgraph====

Hischer

Bürokraten, Sichter, Prüfer, Administratoren

1.053

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