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Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt.

Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt.

    

    

Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abzissen-, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen.

Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abszissenachse, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen.

    

    

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math>\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math> bzw. der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math>\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math>, der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>.

== Anwendung im Mathematikunterricht ==

== Anwendung im Mathematikunterricht ==

Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg, usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden.

Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden.

== Beispielaufgaben ==

== Beispielaufgaben ==

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Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm, so entsteht folgender Graph:

Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm und vervollständigt sie geeignet, so entsteht folgender Graph:

[[Datei:Auto1.jpg|600px]]

[[Datei:Auto1.jpg|600px]]

<math> s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden:

<math> t \rightarrow s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden:

<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20m-5m}{4s-1s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>.

<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20 m-5 m}{4 s-1 s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>.

Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden:

Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden:

<math>s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math>

<math>t \rightarrow s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math>

Die Momentangeschwindigkeit z.B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5s</math>:

Die Momentangeschwindigkeit z. B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5 s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5 s</math>:

<math>v(t)=s'(t)=5\frac{m}{s}</math>

<math>v(t)=s'(t)=5\frac{m}{s}</math>

Man erkennt, dass das Auto, egal zu welchem Zeitpunkt tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Es handelt sich um eine geradlinig gleichförmige Bewegung.

Das Auto fährt, egal zu welchem Zeitpunkt, mit konstanter Geschwindigkeit. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung.

<math>v(t=2,5s)=s'(t=2,5s)=5 \frac{m}{s}</math>

<math>v(t=2,5 s)=s'(t=2,5 s)=5 \frac{m}{s}</math>

=== Beschleunigte Bewegung ===

=== Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ===

Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer geradlinig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel:

Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel:

Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen:

Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen:

Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln.

Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln.

Die Funktion <math>s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden diese Terme aus der Ausgangsgleichung.

Die Funktion <math>t \rightarrow s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto hier keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden hier diese Terme in dieser Gleichung.

Es interessiert die (Momentan-) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5s</math>.

Es interessiert die (Momentan-)Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5 s</math>.

<math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math>

<math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math>

<math>v(t=3,5s)=s'(t=3,5s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5s=10,5 \frac{m}{s} </math>

<math>v(t=3,5 s)=s'(t=3,5 s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5 s=10,5 \frac{m}{s} </math>

Interessant wird die Aufgabe nun, wenn man die Problematik der Gefahrenbremsung betrachtet:

Interessant wird die Aufgabe nun, wenn man die Problematik der Gefahrenbremsung betrachtet:

Das Auto kann mit einer maximalen negativen Beschleunigung <math>a</math> bremsen/verzögern. Nun kommt ein Hindernis vor das Auto, welches mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> fährt. Berücksichtigt man eine Schrecksekunde, ist zu berechnen, ob es das Auto schafft, rechtzeitig zu bremsen.

Das Auto kann mit einer maximalen negativen Beschleunigung <math>a</math> bremsen/verzögern. Nun kommt ein Hindernis vor das Auto, welches mit einer bestimmten (Anfangs-)Geschwindigkeit <math>v_0</math> fährt. Unter Berücksichtigung einer Reaktionszeit ist zu berechnen, ob es das Auto schafft, rechtzeitig zum Stillstand zu kommen.

Sollte dies nicht der Fall sein, so kann man die Geschwindigkeit beim Aufprall bestimmen.

Sollte dies nicht der Fall sein, so kann man die Geschwindigkeit beim Aufprall bestimmen.