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Operatives Prinzip

== Operatives Prinzip ==

Das operative Prinzip zählt – wie beispielsweise das Spiralprinzip oder das genetische Prinzip – zu den klassischen didaktischen Prinzipien in der Mathematikdidaktik (Vgl. Reiss, Hammer). Dieses Prinzip folgt aus den wesentlichen Aspekten der Theorien von Jian Piaget und Hans Aebli. Es betont insbesondere das Lernen durch eigenes Handeln und dessen Verinnerlichung. Die Systematik einer mathematischen Aufgabenstellung wird in den Vordergrund gestellt, um Bezüge zwischen mathematischen Sachverhalten herzustellen. Damit ist eine spezifische Form des systematischen und produktiven Übens verbunden.

Das operative Prinzip zählt – wie beispielsweise das Spiralprinzip oder das genetische Prinzip – zu den klassischen didaktischen Prinzipien in der Mathematikdidaktik (Vgl. Reiss, Hammer). Dieses Prinzip folgt aus den wesentlichen Aspekten der Theorien von Jian Piaget und Hans Aebli. Es betont insbesondere das Lernen durch eigenes Handeln und dessen Verinnerlichung. Die Systematik einer mathematischen Aufgabenstellung wird in den Vordergrund gestellt, um Bezüge zwischen mathematischen Sachverhalten herzustellen. Damit ist eine spezifische Form des systematischen und produktiven Übens verbunden.

Theoretische Herleitung

=== Theoretische Herleitung ===

Nach der genetischen Erkenntnistheorie von Jean Piaget entwickelt sich die menschliche Intelligenz in Interaktion zwischen dem Menschen und seiner Umwelt. In dieser Wechselwirkung entwickelt der Mensch stadienweise ‚kognitive Schemata‘- Systeme, in denen Erfahrungen organisiert, Denkstrukturen entwickelt und erweitert werden (vgl. Abshagen et al.). Im Kindesalter liegen Handlungen an konkreten Objekten vor, die später zu verinnerlichten Handlungen abstrahiert werden.  

Nach der genetischen Erkenntnistheorie von Jean Piaget entwickelt sich die menschliche Intelligenz in Interaktion zwischen dem Menschen und seiner Umwelt. In dieser Wechselwirkung entwickelt der Mensch stadienweise ‚kognitive Schemata‘- Systeme, in denen Erfahrungen organisiert, Denkstrukturen entwickelt und erweitert werden (vgl. Abshagen et al.). Im Kindesalter liegen Handlungen an konkreten Objekten vor, die später zu verinnerlichten Handlungen abstrahiert werden.  

Sein Schüler Hans Aebli betont die Erziehungsbedingungen und überführt die erkenntnistheoretischen Aspekte in den schulischen Kontext. Dazu führt er Stufen des Verinnerlichungsprozesses einer Operation ein, die nacheinander zu durchlaufen sind:

Sein Schüler Hans Aebli betont die Erziehungsbedingungen und überführt die erkenntnistheoretischen Aspekte in den schulischen Kontext. Dazu führt er Stufen des Verinnerlichungsprozesses einer Operation ein, die nacheinander zu durchlaufen sind:

Eine weitere Modifikation aus der Ausgangstheorie von Piaget folgte durch Jerome Bruner. Seinem Verständnis nach stehen die Darstellungsebenen in wechselseitiger Beziehung zueinanderstehen, und sind somit nicht zeitlich hintereinander zu durchlaufen (Vgl. Abshagen et al.). Demnach zeichnet sich die Denkentwicklung durch ein stetiges Wechselspiel dieser Ebenen aus, sodass das Handeln auf allen Ebenen geschult werden sollte und die jeweiligen Betrachtungsweisen übereinstimmen und sich optimalerweise ergänzen. Trotz der nicht festgelegten Chronologie der Ebenen, sollte das Entwicklungsalter der Lernenden jedoch berücksichtigt werden (Vgl. Reiss, Hammer). Während sich beispielsweise Kinder im Regelfall weniger auf der abstrakten Ebene bewegen, kann dies bei Oberstufenschülerinnen bzw. -schülern mühelos eingefordert werden. Nichts destotrotz können und sollen diese auch auf den anderen beiden Ebenen arbeiten.

Eine weitere Modifikation aus der Ausgangstheorie von Piaget folgte durch Jerome Bruner. Seinem Verständnis nach stehen die Darstellungsebenen in wechselseitiger Beziehung zueinanderstehen, und sind somit nicht zeitlich hintereinander zu durchlaufen (Vgl. Abshagen et al.). Demnach zeichnet sich die Denkentwicklung durch ein stetiges Wechselspiel dieser Ebenen aus, sodass das Handeln auf allen Ebenen geschult werden sollte und die jeweiligen Betrachtungsweisen übereinstimmen und sich optimalerweise ergänzen. Trotz der nicht festgelegten Chronologie der Ebenen, sollte das Entwicklungsalter der Lernenden jedoch berücksichtigt werden (Vgl. Reiss, Hammer). Während sich beispielsweise Kinder im Regelfall weniger auf der abstrakten Ebene bewegen, kann dies bei Oberstufenschülerinnen bzw. -schülern mühelos eingefordert werden. Nichts destotrotz können und sollen diese auch auf den anderen beiden Ebenen arbeiten.

Die 7 didaktischen Regeln nach Aebli

 

==== Die 7 didaktischen Regeln nach Aebli ====

1. Konkrete Problemsituationen als Ausgangspunkt:  

1. Konkrete Problemsituationen als Ausgangspunkt:  

Denkprozesse mit Handlungsabsichten sollen durch materielle und geistige Bedürfnissituationen angeregt werden

Denkprozesse mit Handlungsabsichten sollen durch materielle und geistige Bedürfnissituationen angeregt werden

3. beobachten, welche Wirkungen Operationen auf Eigenschaften und Beziehungen der Objekte haben (was geschieht mit ..., wenn ...?)" (Wittmann 1985, S. 9)

3. beobachten, welche Wirkungen Operationen auf Eigenschaften und Beziehungen der Objekte haben (was geschieht mit ..., wenn ...?)" (Wittmann 1985, S. 9)

Anwendungsbeispiele zum operativen Durcharbeiten

=== Anwendungsbeispiele zum operativen Durcharbeiten ===

Primarstufe  

 

==== Primarstufe ====

1) Stecke Würfel zu einer Dreier- und Fünferstange zusammen. Stecke die Stangen anschließend ebenso zusammen. Wie viele Würfel zählst du?

1) Stecke Würfel zu einer Dreier- und Fünferstange zusammen. Stecke die Stangen anschließend ebenso zusammen. Wie viele Würfel zählst du?

2) Fertige eine Zeichnung an, auf der du die Stangen als Streifen aus Quadraten darstellst.  

2) Fertige eine Zeichnung an, auf der du die Stangen als Streifen aus Quadraten darstellst.  

Diese Aufgabe ermöglicht es Grundschulkindern, sich zunächst haptisch mit den Steckwürfeln auseinanderzusetzen und das Objekt, die Addition, kennenzulernen. Anschließend agieren die Schülerinnen und Schüler auf der figuralen und symbolischen Stufe, indem sie die Gegenstände bildlich und mit Ziffern darstellen. Dabei erhalten die Darstellungen in der figuralen und der symbolischen Form ihre Bedeutung durch Rückbezug auf die enaktive Form. Im Sinne des operativen Prinzips ist für das Verstehen des Objekts Addition ebenfalls wesentlich, dass untersucht wird, wie sich Veränderungen des Objekts, also konkret Veränderungen der Summanden, auswirken So wird beim operativen Durcharbeiten z.B. die Konstanz der Summe bei wechselsinniger Veränderung der Summanden erarbeite. Durch diese Art der Modifikation kann die Denkentwicklung und der Verinnerlichungsprozess der Lernenden weiter angeregt werden.

Diese Aufgabe ermöglicht es Grundschulkindern, sich zunächst haptisch mit den Steckwürfeln auseinanderzusetzen und das Objekt, die Addition, kennenzulernen. Anschließend agieren die Schülerinnen und Schüler auf der figuralen und symbolischen Stufe, indem sie die Gegenstände bildlich und mit Ziffern darstellen. Dabei erhalten die Darstellungen in der figuralen und der symbolischen Form ihre Bedeutung durch Rückbezug auf die enaktive Form. Im Sinne des operativen Prinzips ist für das Verstehen des Objekts Addition ebenfalls wesentlich, dass untersucht wird, wie sich Veränderungen des Objekts, also konkret Veränderungen der Summanden, auswirken So wird beim operativen Durcharbeiten z.B. die Konstanz der Summe bei wechselsinniger Veränderung der Summanden erarbeite. Durch diese Art der Modifikation kann die Denkentwicklung und der Verinnerlichungsprozess der Lernenden weiter angeregt werden.

Sekundarstufe I   

==== Sekundarstufe I ====  

1) Wie kann man eine Pizza gerecht auf sechs Freunde aufteilen?  

1) Wie kann man eine Pizza gerecht auf sechs Freunde aufteilen?  

2) Teile die Pizza in sechs gleich große Stücke, indem du eine Skizze anfertigst.  

2) Teile die Pizza in sechs gleich große Stücke, indem du eine Skizze anfertigst.  

a) Wie ändert sich die Größe der Apfelstücke, wenn zwei deiner Freunde auf den Nachtisch verzichten – welchen Anteil erhält dann jeder von euch?

a) Wie ändert sich die Größe der Apfelstücke, wenn zwei deiner Freunde auf den Nachtisch verzichten – welchen Anteil erhält dann jeder von euch?

b) Einer der beiden Äpfel ist aus unerklärlich Gründen verschwunden. Wie viele von euch sechs Freunden müssten auf den Nachtisch verzichten, damit die verteilten Apfelstücke immer noch so groß sind wie in der Ausgangssituation?

b) Einer der beiden Äpfel ist aus unerklärlich Gründen verschwunden. Wie viele von euch sechs Freunden müssten auf den Nachtisch verzichten, damit die verteilten Apfelstücke immer noch so groß sind wie in der Ausgangssituation?

Zu Aufgabe 1: Mit dieser Aufgabe wird der Zugang zu Bruchzahlen handlungsorientiert ermöglicht. Die Schülerinnen und Schüler übertragen ihre Alltagserfahrung und rufen mental das Bild einer Pizza hervor. Im nächsten Schritt führen sie das Aufteilen einer Pizza, als verinnerlichte Handlung durch. Sie handeln an einem konkreten Objekt.

Zu Aufgabe 1: Mit dieser Aufgabe wird der Zugang zu Bruchzahlen handlungsorientiert ermöglicht. Die Schülerinnen und Schüler übertragen ihre Alltagserfahrung und rufen mental das Bild einer Pizza hervor. Im nächsten Schritt führen sie das Aufteilen einer Pizza, als verinnerlichte Handlung durch. Sie handeln an einem konkreten Objekt.

Zu Aufgabe 2: Durch das konkrete Handeln in Aufgabe 1 kann der Zugang zur zeichnerischen Darstellung und somit ein Wechsel auf der Darstellungsebene ermöglicht werden. Sie übertragen eine reale Form in die mathematische Welt, indem sie die Pizza als Kreis zeichnen und Unterteilungen durchführen.  

Zu Aufgabe 2: Durch das konkrete Handeln in Aufgabe 1 kann der Zugang zur zeichnerischen Darstellung und somit ein Wechsel auf der Darstellungsebene ermöglicht werden. Sie übertragen eine reale Form in die mathematische Welt, indem sie die Pizza als Kreis zeichnen und Unterteilungen durchführen.  

Zu Aufgabe 3: Der Lösungsweg wird bei dieser Aufgabe bewusst offengehalten. Die Lösung kann in der Vorstellung, aber auch auf zeichnerischem Weg erzeugt werden.

Zu Aufgabe 3: Der Lösungsweg wird bei dieser Aufgabe bewusst offengehalten. Die Lösung kann in der Vorstellung, aber auch auf zeichnerischem Weg erzeugt werden.

Zu Aufgabe 4: Hier findet eine Förderung durch die Modifikation der ursprünglichen Situation und der anschließenden Analyse der daraus entstandenen Auswirkungen statt. Außerdem wurde das Veranschaulichungsmittel ausgetauscht. In weiteren Aufgaben könnte zudem ein neuer Kontext aufgerufen werden.

Zu Aufgabe 4: Hier findet eine Förderung durch die Modifikation der ursprünglichen Situation und der anschließenden Analyse der daraus entstandenen Auswirkungen statt. Außerdem wurde das Veranschaulichungsmittel ausgetauscht. In weiteren Aufgaben könnte zudem ein neuer Kontext aufgerufen werden.