Änderungen

Primärliteratur zum Artikel: Hischer, Horst [2002]: Mathematikunterricht und Neue Medien. (3.,  durchgesehene, korrigierte und aktualisierte Auflage 2005). Hildesheim:  Franzbecker, S. 246 ff.

Primärliteratur zum Artikel: Hischer, Horst [2002]: Mathematikunterricht und Neue Medien. (3.,  durchgesehene, korrigierte und aktualisierte Auflage 2005). Hildesheim:  Franzbecker, S. 246 ff.

==Übersicht==

==Übersicht==

Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein Funktionenplotter ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. '''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe des Funktionsterms kann sich zwischen  verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch  in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle (z. B. "sqrt" für  Quadratwurzeln, "log" für den natürlichen Logarithmus und "exp" für  Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten  Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung  bestimmen. Viele Funktionenplotter erlauben die simultane Visualisierung mehrerer Funktionen in einem Koordinatensystem und entsprechend auch die Anzeige mehrerer Repräsentanten einer Funktionsschar. <br />

Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein Funktionenplotter ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. '''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe eines Funktionsterms kann sich zwar zwischen  verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch  in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle und Bezeichnungen der Standardfunktionen (z. B. „sqrt“ für  Quadratwurzeln, „log“ für den natürlichen Logarithmus und „exp“ für  Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten  Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung  bestimmen. Viele Funktionenplotter erlauben die simultane Visualisierung mehrerer Funktionen in einem Koordinatensystem und entsprechend auch die Anzeige mehrerer Repräsentanten einer Funktionsschar. <br />

Funktionenplotter sind üblicher Bestandteil [[graphikfähige Taschenrechner|graphikfähiger Taschenrechner]] (GTR) und Taschencomputer (TC), und andererseits findet man sie als Beigabe zu vielen heute üblichen [[Computeralgebrasysteme|Computeralgebrasystemen]] (CAS), auch wenn sie nichts mit „Computeralgebra zu tun haben. <br />

Funktionenplotter sind üblicher Bestandteil [[graphikfähige Taschenrechner|graphikfähiger Taschenrechner]] (GTR) und Taschencomputer (TC), und andererseits findet man sie als Beigabe zu vielen heute üblichen [[Computeralgebrasysteme|Computeralgebrasystemen]] (CAS), auch wenn sie nichts mit „Computeralgebra“ zu tun haben. <br />

Es bleibt abzuwarten, ob Funktionenplotter im Mathematikunterricht zu einem ebenso selbstverständlichen Werkzeug werden, wie es im größten Teil des 20. Jahrhunderts noch Tafelwerke, Rechenschieber und Kurvenlineal waren. So ermöglichen Funktionenplotter im Gegensatz zu diesen klassischen Werkzeugen und Hilfsmitteln eine schnellere und flexiblere Visualisierung reeller Funktionen, Funktionseigenschaften können interaktiv und anschaulich erarbeitet werden, und mögliche Einflüsse von  Konstanten (bzw. Parametern) im Funktionsterm auf Form und Lage des Funktionsplots  werden visuell erfahrbar, insbesondere, wenn deren „quasi stufenlose“ Veränderung mittels ''Schieberegler'' möglich ist. Andererseits muss diese „Schnelligkeit“ der Funktionenplotter nicht automatisch ein methodischer Vorteil sein – so bleibt zu untersuchen, ob eher „Entschleu­ni­gung“  zu einer stabileren Verankerung führt. Nachteile können ferner dann entstehen, wenn  nicht über die Entstehung des Graphen aus diskreten Punkten nachgedacht und dies nicht direkt offensichtlich wird. Es darf zudem nicht uneingeschränkt auf die Exaktheit der Darstellungen vertraut werden. Man sollte sich darüber im Klaren sein, dass es sich beim Funktionsplot lediglich um eine Simulation des Funktionsgraphen handelt (Siehe [[#Funktionsplot als Simulation|Funktionsplot als Simulation]]) und  wegen des sog. [[Aliasing|Aliasings]] sogar falsche Funktionsplots entstehen können.   

Es bleibt abzuwarten, ob Funktionenplotter im Mathematikunterricht zu einem ebenso selbstverständlichen Werkzeug werden, wie es im größten Teil des 20. Jahrhunderts noch Tafelwerke, Rechenschieber und Kurvenlineal waren. So ermöglichen Funktionenplotter im Gegensatz zu diesen klassischen Werkzeugen und Hilfsmitteln eine schnellere und flexiblere Visualisierung reeller Funktionen, Funktionseigenschaften können interaktiv und anschaulich erarbeitet werden, und mögliche Einflüsse von  Konstanten (bzw. Parametern) im Funktionsterm auf Form und Lage des Funktionsplots  werden visuell erfahrbar, insbesondere, wenn deren „quasi stufenlose“ Veränderung mittels ''Schieberegler'' möglich ist. Andererseits muss diese „Schnelligkeit“ der Funktionenplotter nicht automatisch ein methodischer Vorteil sein – so bleibt zu untersuchen, ob eher „Entschleu­ni­gung“  zu einer stabileren Verankerung führt. Nachteile können ferner dann entstehen, wenn  nicht über die Entstehung des Graphen aus diskreten Punkten nachgedacht und dies nicht direkt offensichtlich wird. Es darf zudem nicht uneingeschränkt auf die Exaktheit der Darstellungen vertraut werden. Man sollte sich darüber im Klaren sein, dass es sich beim Funktionsplot lediglich um eine Simulation des Funktionsgraphen handelt (Siehe [[#Funktionsplot als Simulation|Funktionsplot als Simulation]]) und  wegen des sog. [[Aliasing|Aliasings]] sogar falsche Funktionsplots entstehen können.   

==Funktionsplot als Simulation==

==Funktionsplot als Simulation==

Der von einem Funktionenplotter erzeugte '''Funktionsplot''' ist auf den ersten Blick eine „''Visualisierung des Funk­tionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster''“ (s. o.). Bei näherer Betrachtung erweist er sich als ''Visualisierung einer rechnerintern erzeugten Wertetabelle'' einer gegebenen Funktion. Daraus folgt sogar, dass man bei reellen Funktionen zwischen „''Funktionsgraph''“ und „''Funktionsplot''“ unterscheiden muss, weil ein Funktionsplot nur als ''Simulation eines Funktionsgraphen einer reellen Funktion'' (kurz: Simulation einer reellen Funktion) anzusehen ist:  <br />

Der von einem Funktionenplotter erzeugte '''Funktionsplot''' ist auf den ersten Blick eine „''Visualisierung des Funk­tionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster''“ (s. o.). Bei näherer Betrachtung erweist er sich als ''Visualisierung einer rechnerintern erzeugten Wertetabelle'' einer gegebenen Funktion. Daraus folgt sogar, dass man bei reellen Funktionen zwischen „''Funktionsgraph''“ und „''Funktionsplot''“ unterscheiden muss, weil ein Funktionsplot nur als ''Simulation eines Funktionsgraphen einer reellen Funktion'' (kurz: Simulation einer reellen Funktion) anzusehen ist:  <br />

Der '''Funktionsgraph''' einer gegebenen Funktion ''f''  ist die Menge aller geordneten Paare (''x'', ''f(x)''), wobei ''x'' alle Werte aus der Definitionsmenge D_f annimmt. Der '''Funktionsplot''' ist hingegen die Menge aller der von einem Funktionenplotter erzeugten Pixel (die als geordnete Paare (''m'', ''n'') mit den „Koordinaten“ dieser Pixel aufzufassen sind). Damit sind aber „''Funktionsgraph einer Funktion''“ und „''Funktionsplot einer Funktion''“ im Allgemeinen streng zu unterscheiden, denn:  

Der '''Funktionsgraph''' einer gegebenen Funktion ''f''  ist die Menge aller geordneten Paare (''x'', ''f''(''x'')), wobei ''x'' alle Werte aus der Definitionsmenge D_''f'' annimmt. Der '''Funktionsplot''' ist hingegen die Menge aller der von einem Funktionenplotter erzeugten Pixel (die als geordnete Paare (''m'', ''n'') mit den „Koordinaten“ dieser Pixel aufzufassen sind). Damit sind aber „''Funktionsgraph einer Funktion''“ und „''Funktionsplot einer Funktion''“ im Allgemeinen streng zu unterscheiden, denn:  

*  Jeder Funktionsplot besteht aus nur endlich vielen „Punkten“.

*  Jeder Funktionsplot besteht aus nur endlich vielen „Punkten“.

*  Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von Df eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br />

*  Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von D_''f'' eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br />

Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides analog beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele äquidistante Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche Approximationen der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor:³

Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides analog beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele äquidistante Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche Approximationen der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor:³

: <small>Simulation ist die effektive Übersetzung eines mathematischen Objekts oder Prozesses in numerische Operationen und gegebenenfalls graphische Darstellungen.</small> <br />

: <small>Simulation ist die effektive Übersetzung eines mathematischen Objekts oder Prozesses in numerische Operationen und gegebenenfalls graphische Darstellungen.</small> <br />

Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann:

Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann:

:<small> Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. ''sin x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.</small><br />

:<small> Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin ''x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden. </small><br />

Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt ⁴) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). ⁵

Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt ⁴) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). ⁵

* ''Zweiter Hauptsatz für Funktionenplotter'': Der Funktionsplot einer periodischen Funktion ist meist falsch.

* ''Zweiter Hauptsatz für Funktionenplotter'': Der Funktionsplot einer periodischen Funktion ist meist falsch.

Das hängt mit dem angedeuteten '''Aliasing''' ('''Stroboskopeffekt''') zusammen. Das „meist“ ist nicht statistisch bezüglich der Benutzer gemeint, sondern wie folgt: Will man einen Funktionsplot von ''x a sin(ax)''  erstellen, und verwendet man dazu eine stochastische Belegung von ''a'' , so ist „fast jeder“ so erzeugte Funktionsplot falsch.

Das hängt mit dem angedeuteten '''Aliasing''' ('''Stroboskopeffekt''') zusammen. Das „meist“ ist nicht statistisch bezüglich der Benutzer gemeint, sondern wie folgt: Will man einen Funktionsplot von ''x'' → sin(''ax'') erstellen, und verwendet man dazu eine stochastische Belegung von ''a'' , so ist „fast jeder“ so erzeugte Funktionsplot falsch.

==Literatur==

==Literatur==