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Zeile 26: − ->Ähnliche Algorithmen finden sich bei: <ref>Frank, B.; Schulz, W.; Tietz, W.;Warmuth, E. (2004): Wissensspeicher Mathematik. Cornelsen Verlag</ref> und <ref>Seeger, H.: Mathematik. Prüfungs- und Basiswissen der Oberstufe. Tandem Verlag</ref>+ Zeile 33:
Zeile 32: − + − − (Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.) + − 1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt A der Dose (eines Zylinders). − + − Da r und h Strecken darstellen, sind r und h positive reelle Zahlen und größer als Null.+ + + + − 2. A = 2π(r)² + 2π(r)[h] − + + + + − + − + − 3. A = 2πr² + 2000/r − A´ = 4πr - 2000/r² − 0 = 4πr - 2000/r²+ − + + + + + + + − A´´ = 4π + 4000/r³ > 0 für alle r > 0 -> lokales Minimum bei r ≈ 5,419cm+ + − + − + Zeile 76:
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„Unter ''Extremwertaufgaben'' versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine [[Funktion]] von zwei Veränderlichen[Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“<ref>Tietze, U.; Klika, M.; Wolpers, H.(1997): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Fachdidaktische Grundfragen. Didaktik der Analysis. Vieweg Verlag</ref>
„Unter ''Extremwertaufgaben'' versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine [[Funktion]] von zwei Veränderlichen [Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“<ref>[[Uwe-Peter Tietze|Tietze, U.]]; [[Manfred Klika|Klika, M.]]; Wolpers, H.(1997): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Fachdidaktische Grundfragen. Didaktik der Analysis. Vieweg Verlag</ref>
==Algorithmus zur Lösung von Extremwertaufgaben==
==Algorithmus zur Lösung von Extremwertaufgaben==
===Allgemeiner Algorithmus<ref>Danckwerts,R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum AkademischerVerlag</ref>===
===Allgemeiner Algorithmus<ref>[[Rainer Danckwerts|Danckwerts, R.]]; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum AkademischerVerlag</ref>===
1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion(Zielfunktion) auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den [[Definitionsbereich]] der Funktion.
1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion (Zielfunktion) auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den [[Definitionsbereich]] der Funktion.
2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen.
2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen.
<math> \rightarrow </math> Ähnliche Algorithmen finden sich bei: <ref>Frank, B.; Schulz, W.; Tietz, W.; [[Elke Warmuth|Warmuth, E.]] (2004): Wissensspeicher Mathematik. Cornelsen Verlag</ref> und <ref>Seeger, H.: Mathematik. Prüfungs- und Basiswissen der Oberstufe. Tandem Verlag</ref>
''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von 1l haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?''
''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von <math> 1l </math> haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?''
(Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.)
A = 2πr² + 2πrh
1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt <math> A </math> der Dose (eines Zylinders).
<math>
A = 2\pi r^2 + 2\pi rh
</math>
Da <math> r </math> und <math> h </math> Strecken darstellen, sind <math> r </math> und <math> h </math> positive reelle Zahlen und größer als Null.
A hängt zunächst von den beiden Variablen r und h ab, folglich muss über die Nebenbedingung V = 1l = 1dm³ = 1.000cm³ eine der beiden Variablen ersetzt werden(beispielsweise h).
2.
<math>
A = 2\pi (r)^2 + 2\pi (r)[h]
</math>
V = πr²h -> h = V/(πr²) = 1000/(πr²) (h bzw. r sind in cm anzugeben)
<math> A </math> hängt zunächst von den beiden Variablen <math> r </math> und <math> h </math> ab, folglich muss über die Nebenbedingung <math> V = 1l = 1dm^3 = 1.000cm^3 </math> eine der beiden Variablen ersetzt werden (beispielsweise <math> h </math>).
<math> V = \pi r^2h </math> <math> \Rightarrow </math> <math> h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi r^2} </math> (<math> h </math> bzw. <math> r </math> sind in <math> cm </math> anzugeben)
3.
-> r ≈ 5,419cm
<math>
\begin{eqnarray}
A &= &2\pi r^2 + \frac{2000}{r}\\
A' &= &4\pi r - \frac{2000}{r^2}\\
0& =& 4\pi r - \frac{2000}{r^2}\\
&\rightarrow& r ≈ 5,419cm
\end{eqnarray}</math>
<math>
A'' = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 </math> für alle <math> r > 0 </math> -> lokales Minimum bei <math> r ≈ 5,419cm </math>
4. Betrachtet man den Grenzwert für r gegen Null, bzw. für r gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt A unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.
4. Betrachtet man den Grenzwert für <math> r </math> gegen Null, bzw. für <math> r </math> gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt <math> A </math> unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.
5. r ist bereits unter 3. berechnet wurden. h ergibt sich aus V = πr²h und beträgt rund 10,839cm. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: r ≈ 5,419cm und h ≈ 10,839cm.
5. <math> r </math> ist bereits unter 3. berechnet wurden. <math> h </math> ergibt sich aus <math> V = \pi r^2h </math> und beträgt rund <math> 10,839cm </math>. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: <math> r ≈ 5,419cm </math> und <math> h ≈ 10,839cm </math>.
==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern==
==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern==
Folgende kognitive Probleme können Schülerinnen und Schülern beim Umgang mit Extremwertaufgaben begegnen:
Folgende kognitive Probleme können Schülerinnen und Schülern beim Umgang mit Extremwertaufgaben begegnen:
* Es kann ihnen schwer fallen Haupt- und Nebenbedingungen zu finden und diese zu unterscheiden, bzw. in Formeln auszudrücken, falls sie in Textform gegeben sind.
* Es kann ihnen schwer fallen, Haupt- und Nebenbedingungen zu finden und diese zu unterscheiden, bzw. in Formeln auszudrücken, falls sie in Textform gegeben sind.
* Extremwertaufgaben können komplexe Sachverhalte beinhalten und/oder sich an praktischen Problemen orientieren, sodass die Schülerinnen und Schüler die rein mathematische Lösung auf diese übertragen müssen.
* Extremwertaufgaben können komplexe Sachverhalte beinhalten und/oder sich an praktischen Problemen orientieren, sodass die Schülerinnen und Schüler die rein mathematische Lösung auf diese übertragen müssen.
*Extremwertaufgaben aus Lehrbüchern können den Schülerinnen und Schülern bisher unbekannte Formulierungen enthalten und somit die Mathematisierung des Aufgabentextes erschweren.
*Extremwertaufgaben aus Lehrbüchern können den Schülerinnen und Schülern bisher unbekannte Formulierungen enthalten und somit die Mathematisierung des Aufgabentextes erschweren.
* Viele Extremwertaufgaben sind eindeutig lösbar, jedoch entstehen im Rahmen der Kompetenzorientierung, hinsichtlich der [[Modellierungskompetenz]], auch Modellierungsaufgaben ohne eindeutige Lösung, was für Schülerinnen und Schüler ungewohnt sein kann.
* Viele Extremwertaufgaben sind eindeutig lösbar, jedoch entstehen hinsichtlich der [[Modellierungskompetenz]] im Rahmen der Kompetenzorientierung auch Modellierungsaufgaben ohne eindeutige Lösung, was für Schülerinnen und Schüler ungewohnt sein kann.
* Für Schülerinnen und Schüler könnte es irritierend sein, dass nicht alle mathematischen Lösungen auch gleichzeitig Lösungen des praktischen Problems darstellen und das sie dies begründen müssen.
* Für Schülerinnen und Schüler könnte es irritierend sein, dass nicht alle mathematischen Lösungen auch gleichzeitig Lösungen des praktischen Problems darstellen und dass sie dies begründen müssen.
==Quellen==
==Quellen==