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Kurvendiskussion mit CAS (Quelltext anzeigen)
Version vom 3. Februar 2013, 10:12 Uhr
, 10:12, 3. Feb. 2013→Aufgabenbeispiel 1: Die Milchtüteaus Danckwerts/Vogel:Analysis verständlich unterrichten, 1.Auflage 2006, Springer Verlag Berlin-Heidelberg
==Aufgabenbeispiel 1: Die Milchtüte<ref>aus Danckwerts/Vogel:Analysis verständlich unterrichten, 1.Auflage 2006, Springer Verlag Berlin-Heidelberg</ref>==
==Aufgabenbeispiel 1: Die Milchtüte<ref>aus Danckwerts/Vogel:Analysis verständlich unterrichten, 1.Auflage 2006, Springer Verlag Berlin-Heidelberg</ref>==
Wir betrachten eine Milchtüte mit einem Volumen von 1 Liter aus einem beliebigen Supermarkt. Es interessiert uns, ob der Hersteller darauf geachtet hat, so wenig Pappe wie möglich für die Herstellung zu verwenden.
Wir betrachten eine Milchtüte mit einem Volumen von 1 Liter aus einem beliebigen Supermarkt.[[Datei:Milch.jpg|thumb| Foto einer 1 L Milchtüte]]
Es interessiert uns, ob der Hersteller darauf geachtet hat, so wenig Pappe wie möglich für die Herstellung zu verwenden.
Es handelt sich folglich um eine [[Optimierungsaufgabe]].
Es handelt sich folglich um eine [[Optimierungsaufgabe]].
Mögliches Vorgehen: Entleeren wir diese Milchtüte, trennen die Kleberänder und falten sie
Mögliches Vorgehen: Entleeren wir diese Milchtüte, trennen die Kleberänder und falten sie
auf, erhalten wir folgendes Faltnetz:
auf, erhalten wir das folgende Faltnetz:
[[Datei:Faltnetz.jpeg| thumb| Netz der Milchtüte]]
[[Datei:Faltnetz.jpeg]]
[[Datei:3D Plot.png| thumb| 3D Plot mit Casio ClassPad 300]]
Wir entnehmen die Maße <math> a=7,1 cm </math> und <math> h=19,7 cm </math>. Damit ergibt sich ein Volumen von <math> 993 cm^3 </math>.Erkennt man <math> a </math> und <math> h </math> als variierbare Größen,kommt man auf die Funktion <math> M(a,h)=(h+2\cdot \frac{a}{2}+2\cdot 0,6)\cdot(4a+0,6) </math> für den Materialverbrauch.
An dieser Stelle kann man nun den CAS-Rechner bemühen und sich den 3-D Plot darstellen lassen.(Abbildung rechts)
Doch ist dies leider noch nicht zielführend, da der Graph in seiner Gesamtheit nicht von Interesse ist.
In diesem Zusammenhang wird klar, dass man die mit CAS-Rechnern gewonnenen Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat.Es fehlt
noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung <math>{a^2}\cdot{h}=1000 Liter </math>.Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert
man <math> h </math> in <math> M(a,h) </math> und erhält <math> M(a)=4a^2+5,4a+0,72+\frac{4000}{a}+\frac{600}{a^2}</math> mit <math> a>0 </math>.
Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS. An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung <math> M(a) </math> qualitativ analytisch zu diskutieren. Man erkennt, dass für große und für kleine <math> a\ M(a) </math> groß wird, was bedeutet, dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss. Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung durchführen und das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert die Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.
</math>
Hier sei explizit darauf hingewiesen, dass <math> M(a) </math> eine Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann. Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die komplizierten algebraischen Wurzelterme erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen. Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.
Das Ergebnis <math> a=7,8 cm </math> weicht stark vom realen Wert <math> a= 7,1 cm </math> ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.
Das Ergebnis <math> a=7,8 cm </math> weicht stark vom realen Wert <math> a= 7,1 cm </math> ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.
Solche und ähnliche Aufgaben findet man unter anderem in den Abiturvorbereitungsbüchern vom STARK-Verlag.
Solche und ähnliche Aufgaben findet man unter anderem in den Abiturvorbereitungsbüchern vom STARK-Verlag.
Aufgabe:
'''Aufgabe:'''
Ein Sportlehrer wollte sich auf ein Skilager gut vorbereiten. Zur Einteilung der Schülergruppen nach ihren Leistungen
Ein Sportlehrer wollte sich auf ein Skilager gut vorbereiten. Zur Einteilung der Schülergruppen nach ihren Leistungen
erstellte er die Höhenprofile der Skihänge. Folgende Tabelle kam dabei heraus: [[Datei:Tabelle.jpg|thumb|Werte der Höhenprofile]]
erstellte er die Höhenprofile der Skihänge. Folgende Tabelle kam dabei heraus:
[[Datei:Tabelle.jpg]]
'''a) Bestimmen Sie durch Regression die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, die das Höhenprofil des Berges wiedergeben könnte.'''
Zuerst lässt man sich die Wertepaare mit dem CAS darstellen, um sich den bewusst zu werden, welcher funktionale Zusammenhang diese Datenpaare beschreiben könnte.
[[Datei:Darstellung1.jpg]]
[[Datei:Darstellung1.jpg]]
Darauf aufbauen sollte eine Regression erfolgen, bei der man erkennt, dass in diesem Falle eine Funktion dritten Grades genügt.
Darauf aufbauend sollte eine Regression mit dem CAS-Rechner erfolgen, bei der man erkennt, dass in diesem Falle eine Funktion dritten Grades genügt.
Die Parameter der erhaltenen kubischen Funktion sind in der nächsten Abbildung dargestellt.
[[Datei:Darstellung2.jpeg]]
Man erhält folgende Funktion als Lösung: <math> f(x)=-2,381629\cdot10^{-5}\cdot{x^3}+0,005805\cdot{x^2}-0,06422\cdot{x}+39,987088 </math>
Man erhält folglich die Funktion
<math> f(x)=-2,381629\cdot10^{-5}\cdot{x^3}+0,005805\cdot{x^2}-0,06422\cdot{x}+39,987088 </math>
als Lösung.
* schwarz: anspruchsvoll, mit einer größeren Neigung als 40%
* schwarz: anspruchsvoll, mit einer größeren Neigung als 40%
Begründen Sie, weshalb dieses Vorhaben verworfen werden sollte.
'''b) Ermitteln Sie die maximale Neigung der Skipiste und ordnen Sie diese der entsprechenden Farbe zu.'''
'''Der Tourismusverband überlegt, auch den rechten Hang für den Wintersport zu nutzen. Begründen Sie, weshalb dieses Vorhaben verworfen werden sollte.'''
Hier nutzt man die Solve- Funktion des CAS, mit der man sogar direkt erzwingen kann, dass auch ein Maximum ausgebenen wird,
Hier nutzt man die Solve- Funktion des CAS, mit der man sogar direkt erzwingen kann, dass auch ein Maximum ausgebenen wird,
sollte es existieren.
sollte es existieren. Die entsprechende Eingabe in einen CAS-Rechner wird in der folgenden Abbildung illustriert.
[[Datei:Darstellung3.jpg]]
[[Datei:Darstellung3.jpg]]
Der höchste Punkt besitzt die Koordinaten <math> P(156,753; 80,8199) </math>.
Der höchste Punkt besitzt die Koordinaten <math> P(156,753; 80,8199) </math>.
Die maximale Neigung findet man an den Wendepunkten und verfährt wie eben, nur dass man fordert, dass die zweite Ableitung der Funktion Null wird, jedoch die dritte nicht. Man erhält eine Wendestelle <math> x_w=81,2435 </math> auf dem linken Hang.
Die maximale Neigung findet man an den Wendepunkten und man verfährt wie eben, nur dass man fordert, dass die zweite Ableitung der Funktion Null wird, jedoch die dritte nicht. Man erhält eine Wendestelle <math> x_w=81,2435 </math> auf dem linken Hang.
Durch Einsetzen erkennt man, dass für den rechten Hang die Neigung an der Intervallgrenze <math> (x=240) </math> am größten ist.
Durch Einsetzen erkennt man, dass für den rechten Hang die Neigung an der Intervallgrenze <math> (x=240) </math> am größten ist.
Ergebnisse:
linker Skihang: hat maximale Neigung bei <math> x_w=81,2435 </math>, <math> m_l=0,407379 </math>
'''Ergebnisse:'''
linker Skihang: maximale Neigung bei <math> x_w=81,2435 </math>, <math> m_l=0,407379 </math>
Mit ca. 40% Neigung könnte man diese Piste mit schwarz oder rot markieren, da dies der direkte Grenzfall ist.
Mit ca. 40% Neigung könnte man diese Piste mit schwarz oder rot markieren, da dies der direkte Grenzfall ist.
für den rechten Skihang gilt: x=240 mit <math>m_r=-1,39339</math>
Mit einer maximalen Neigung von 139% ist dieser Hang zum Skifahren viel zu gefährlich. Er sollte nicht für den Tourismus erschlossen werden.
Mit einer maximalen Neigung von 139% ist dieser Hang zum Skifahren viel zu gefährlich. Er sollte nicht für den Tourismus erschlossen werden.