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== Funktionen haben viele Gesichter ==

==Übersicht: Funktionen haben viele Gesichter==

===Übersicht===

Die grundlegende mengentheoretische Definition von [[Funktion: mengentheoretische Auffassung|„'''Funktion als rechtseindeutige Relation'''“]] enthält bereits das Wesentliche und wird durch die Erweiterung über die Einbeziehung der Definitionsmenge und der Zielmenge gemäß <math>f\,:A\to B</math> und schließlich auch der Wertemenge umfassend verwendbar, so dass uns unter dieser Sichtweise und unter Berücksichtigung der [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|'''kulturhistorischen Aspekte''']] der Entstehung des Funktionsbegriffs „Funktionen“ mit unterschiedlichen und vielfältigen [[Funktion: kulturhistorische Aspekte#warum vielfältige Gesichter von Funktionen?|„'''Gesichtern'''“]] begegnen können. Das sei nachfolgend durch einige Beispiele verdeutlicht.

Die grundlegende mengentheoretische Definition von „[[Funktion: mengentheoretische Auffassung|Funktion als rechtseindeutiger Relation“]] enthält bereits das Wesentliche und wird durch die Erweiterung über die Einbeziehung der Definitionsmenge und der Zielmenge gemäß <math>f\,:A\to B</math> und schließlich auch der Wertemenge umfassend verwendbar, so dass uns unter dieser Sichtweise und unter Berücksichtigung der [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorischen Aspekte]] der Entstehung des Funktionsbegriffs Funktionen mit unterschiedlichen „Gesichtern“ begegnen können. Das sei nachfolgend durch einige Beispiele verdeutlicht.

===Beispiele===

====Funktionsterm als Funktion====

===...===

Ein beliebiger gemäß Definition eines arithmetischen [[Term|Terms]] gebildeter ''Funktionsterm'' <math>f(x)</math> ordnet jeder reellen oder komplexen Zahl <math>x</math> genau einen Wert zu, nämlich <math>f(x)</math>. Die Menge aller solcher geordneten Paare <math>(x,f(x))</math> ist damit rechtseindeutig, und daher ist bereits durch den Funktionsterm <math>f(x)</math> eine ''Funktion'' gegeben, was dazu führt, diesen Funktionsterm <math>f(x)</math> mit der Funktion <math>f</math> zwar nicht formal, aber inhaltlich im Wesentlichen identifizieren zu können. Obwohl also „eigentlich“ erst <math>f</math> die Funktion ist, steht bereits der Funktionsterm <math>f(x)</math> gleichermaßen für diese Funktion.

===...===

===Funktionsterm als Funktion===

Ein beliebiger gemäß Definition eines arithmetischen [[Term|Terms]] gebildeter ''Funktionsterm'' <math>f(x)</math> ordnet jeder reellen oder komplexen Zahl <math>x</math> genau einen Wert zu, nämlich <math>f(x)</math>. Die Menge aller solcher geordneten Paare <math>(x,f(x))</math> ist damit [[Funktion: mengentheoretische Auffassung|rechtseindeutig]], und daher ist bereits durch den Funktionsterm <math>f(x)</math> eine ''[[Funktion: mengentheoretische Auffassung|Funktion]]'' gegeben, was dazu führt, diesen Funktionsterm <math>f(x)</math> mit der Funktion <math>f</math> zwar nicht formal, aber inhaltlich im Wesentlichen identifizieren zu können. Obwohl also „eigentlich“ erst <math>f</math> die Funktion ist, steht bereits der Funktionsterm <math>f(x)</math> gleichermaßen für diese Funktion.

====Funktionsgraph als Funktion====

===Funktionsgraph als Funktion===

Ist <math>f\,:A\to B</math>, so ist der zugehörige Funktionsgraph durch <math>{{\operatorname{G}}_{f}}=\{(x,f(x))|x\in A\}\subseteq A\times B</math> gegeben, und es wurde bereits festgestellt, dass <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math> gilt, also kurz <math>f={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. Interpretiert man das in einem (nicht notwendig numerischen) kartesischen Koordinatensystem als Darstellung von mit <math>(x,f(x))</math> bezeichneten „Punkten“, so wird auf diese Weise jedem <math>x\in A</math> genau ein<math>f(x)\in B</math> zugeordnet, womit also der Funktionsgraph auch in dieser Sichtweise bereits eine Funktion '''ist'''.

Ist <math>f\,:A\to B</math>, so ist der zugehörige Funktionsgraph durch <math>{{\operatorname{G}}_{f}}=\{(x,f(x))|x\in A\}\subseteq A\times B</math> gegeben, und es wurde bereits festgestellt, dass <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math> gilt, also kurz <math>f={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. Interpretiert man das in einem (nicht notwendig numerischen) kartesischen Koordinatensystem als Darstellung von mit <math>(x,f(x))</math> bezeichneten „Punkten“, so wird auf diese Weise jedem <math>x\in A</math> genau ein<math>f(x)\in B</math> zugeordnet, womit also der Funktionsgraph auch in dieser Sichtweise bereits eine Funktion '''ist'''.

====Funktionsplot als Funktion====

===Funktionsplot als Funktion===

Siehe hierzu die Erläuterungen unter [[Funktionenplotter]].

Siehe hierzu die Erläuterungen unter [[Funktionenplotter]].

====Digitalisierung und Diskretisierung als Funktionen====

===Digitalisierung und Diskretisierung als Funktionen===

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====Hörbare Funktionen====

 

===Hörbare Funktionen===

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====Sichtbare Funktionen====

===Sichtbare Funktionen===

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