Relation

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Verfasst von Horst Hischer

Übersicht [1]

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet. Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen) zu beschreiben, also darum, ob und wie zu „in Beziehung steht“, falls und gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie oder eine Ungleichung wie beschrieben werden.
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare aus der „Produktmenge“ gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge als eine „Relation zwischen und – oder genauer: als eine „Relation von nach – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung und Struktur nicht verliert, wenn man in anstelle von und beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt (im Gegensatz zur mit bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien     Mengen und (also ).
Für beliebige Objekte     gilt::
||    heißt „geordnetes Paar“.

Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass gilt.
  lässt sich rekursiv zum geordneten -Tupel verallgemeinern.
Spezielle Namen sind für Tripel“ und für Quadrupel“.

:   heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von und ).

  lässt sich rekursiv zu verallgemeinern.

  ist genau dann eine -stellige Relation, wenn     aus geordneten -Tupeln besteht. 2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen aus geordneten Paaren.
  ist genau dann eine Relation von nach , wenn     gilt. Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
  ist genau dann eine Relation in , wenn     gilt. Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart::

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen [2]

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung:   seien Mengen,     und   . Die nachfolgenden Erläuterungen deuten     als einen „Pfeil von     nach   .
  ist symmetrisch Es gilt für alle   wenn   ,   dann   . Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).
  ist asymmetrisch Es gilt für alle   wenn   ,   dann   nicht   . Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).
  ist identitiv Es gilt für alle   wenn     und   ,   dann   . Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. [3]
  ist transitiv Es gilt für alle   wenn     und   ,   dann   . Wenn eine mittelbare Verbindung, dann eine direkte (Existenz von Überbrückungspfeilen).
  ist reflexiv in Es gilt für alle   . Überall Schleifen.
  ist irreflexiv in Es gilt für alle   nicht   . Nirgends Schleifen.
  ist konnex in Es gilt für alle     oder   . Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. [4]
  • Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in , was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

  • Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

  1. Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].
  2. Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]
  3. Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.
  4. Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „conecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.


Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2013): Relation. Version vom 27.08.2013. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Relation&oldid=12322.