Iterative Prozesse und Folgen

Iterative Prozesse lassen sich mittels Folgen darstellen. Dabei wird - ausgehend von einem Startwert - eine funktionale Bildungsvorschrift eingesetzt, um weitere Elemente ("Folgenglieder") zu berechnen. Jedes Folgenglied ist dabei abhängig von seinen Vorgängern. Ein Zustand des Prozesses wird modelliert, indem eine passende Anzahl Elemente der Folge berechnet werden.

Diese rekursive Definition von Zahlenfolgen wird auch als rekursive oder iterative Sichtweise von Folgen bezeichnet. Durch den grundlegenden Aufbau herrscht eine große Ähnlichkeit zur Beweismethode der vollständigen Induktion. In beiden Fällen wird ausgehend von einem Startwert eine rekursive Bildungsvorschrift definiert, die weitere (Folgen-)Glieder bestimmt. Der zunehmende Einsatz von Computern und Taschenrechnern ermöglicht es iterative Prozesse bzw. rekursiv definierte Zahlenfolgen besser im Unterricht einzusetzen. Ausserdem besteht ein enger Zusammenhang zum funktionalen Aspekt von Folgen.

Beispiele für Verfahren

Heron-Verfahren Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel: Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll. Als Startwert wird ein beliebiger, nichtnegativer Wert festgelegt. Gut funktioniert Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} x_0 = \frac{a + 1}{2} \end{eqnarray} } . Die verwendete Bildungsvorschrift ist Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2} \end{eqnarray} } Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a.

Beispiel: Sei a = 25. Als Startwert wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} } festgelegt. Nun werden die Glieder der Folge berechnet: x_1 = x_0 + a/x_0 / 2 = 13 + 25/13 / 2 = 7,4615384615384615384615384615385 ist etwa 7,4615 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} x_{1} = \frac{x_0 + \frac{a}{x_0}}{2} = \frac{13 + \frac{25}{13}}{2} = 7,4615384615384615384615384615385 \approx 7,4615 \\ x_{2} = \frac{x_1 + \frac{a}{x_1}}{2} = \frac{7,4615 + \frac{25}{7,4615}}{2} = 5,4060163673524090330362527641895 \approx 5,406 \\ x_{3} = \frac{5,406 + \frac{25}{5,406}}{2} = 5,0152456529781724010358860525342 \approx 5,0152 \\ x_{4} = \frac{5,0152 + \frac{25}{5,0152}}{2} = 5,0000230339767107991705216142926 \approx 5 \\ \end{eqnarray} }

Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen

Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift $x_{n+1}=1+{\frac {1}{x_{n}}}$. Beispiel Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} } erhalten. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} }

Taschenrechnereinsatz

Folgen lassen sich mittels des Taschenrechners recht einfach darstellen. Schon mit der $x^{2}$ oder der ${\frac {1}{x}}$-Taste der meisten Taschenrechner lassen sich einige Funktionen als Folgen darstellen. In den meisten modernen grafikfähigen Taschenrechnern ist zudem eine Listen-Option eingebaut. Diese ermöglicht es eine hohe Anzahl an Folgengliedern schnell zu berechnen und übersichtlich darzustellen.

Softwareeinsatz

Tabellenkalkulationsprogramme ermöglichen - umfangreicher als die Listenfunktionen einiger Taschenrechner - die schnelle und komfortable Berechnung, sowie Darstellung von Folgengliedern anhand einer Berechnungsvorschrift. Sie eignen sich daher gut zur Veranschaulichung, um etwa die Konvergenz einer Zahlenfolge deutlicher zu sehen. Beispiele für derartige Software sind Excel und Open Office Calc.

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Iterative Prozesse und Folgen. Version vom 29.01.2013. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Iterative_Prozesse_und_Folgen&oldid=9800.