Funktion: mengentheoretische Auffassung

Übersicht

Die Untersuchung der kulturhistorischen Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs zeigt, wie sich aus ersten Ansätzen bei babylonischen Tabellen, bei der Erfindung von Notentexten, bei der Untersuchung und Darstellung zeitabhängiger Größen, bei freihändig gezeichneten „Kurven“, bei „analytischen Ausdrücken“ (als Termen) und bei graphischen und tabellarischen Darstellungen empirisch gewonnener Daten im 19. Jh. ein „termfreier“ Funktionsbegriff als „eindeutige Zuordnung“ entwickelt hat, der schließlich Anfang des 20. Jhs. auf der Grundlage der zuvor durch Georg Cantor begründeten Mengenlehre unter Bezug auf „geordnete Paare“ seine formal strenge und saubere Fassung als spezielle Relation erhalten hat.

Grundlegende Definitionen

Unter Bezug auf den mit „binäre Relation“ bezeichneten Begriff lässt sich „Funktion“ knapp und elegant definieren, wobei hier statt „binäre Relation“ kurz „Relation“ gesagt wird:

Definition	Anmerkungen
„Funktion“ ist eine Kurzbezeichnung für „rechtseindeutige Relation“.	• „Abbildung“ ist meist ein Synonym für „Funktion“, z. T. bevorzugt in Geometrie und Linearer Algebra verwendet. • „Operator“ und „Funktional“ bezeichnen jeweils Funktionen in speziellen Kontexten.

Die Schreib- bzw. Sprechweisen „$f$ ist eine Funktion“ und „$f$ ist eine rechtseindeutige Relation“ sind also gemäß dieser Definition gleichbedeutend. Ihr liegt Folgendes zugrunde:

Pfeildiagramme von zwei Relationen:
links: die Relation ist nicht rechtseindeutig;
rechts: die Relation ist rechtseindeutig, sie zeigt eine
„Funktion“ als rechtseindeutige Relation.
Nur die Relation rechts ist auch linkseindeutig.

vorausgehende Definitionen	Erläuterungen
Voraussetzung: Es sei $R$ eine (binäre) Relation, $R\neq \varnothing$. Dann gilt:	$R$ ist also eine Menge von geordneten Paaren, z. B. $R\subseteq A\times B$ mit der nicht leeren „Ausgangsmenge“ $A$ und der nicht leeren „Zielmenge“ $B$. (Man kann ggf. auch „leere Relationen“ und damit auch „leere Funktionen“ betrachten.)
(1) $R$ ist genau dann rechtseindeutig, wenn für alle $x,{{y}_{1}},{{y}_{2}}$ gilt: aus $xR{{y}_{1}}\wedge xR{{y}_{2}}$ folgt stets ${{y}_{1}}={{y}_{2}}$.	Jedem Element aus der Ausgangsmenge $A$ wird höchstens ein Element aus der Zielmenge $B$ zugeordnet. Das heißt: Die Zuordnung verläuft von links nach rechts eindeutig.
(2) $R$ ist genau dann linkseindeutig, wenn für alle ${{x}_{1}},{{x}_{2}},y$ gilt: aus ${{x}_{1}}Ry\wedge {{x}_{2}}Ry$ folgt stets ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$.	Jedes Element aus der Zielmenge $A$ ist höchstens einem Element aus der Ausgangsmenge $B$ zugeordnet. Das heißt: Die inverse Zuordnung verläuft von rechts nach links eindeutig.
(3) $R$ ist genau dann injektiv, wenn $R$ sowohl rechtseindeutig als auch linkseindeutig ist.	Die Zuordnung verläuft in beiden Richtungen eindeutig. Gleichbedeutend mit „injektiv“ ist „eineindeutig“.

Weitergehende Definitionen und Bezeichnungen

übliche Bezeichnungen bzw. symbolische Darstellungen	Erläuterungen
$f$ sei eine (nicht leere) Funktion und $f\subseteq A\times B$ mit nicht leeren Mengen $A$ und $B$.	(generelle Voraussetzung für das Folgende)
Es sei $x\in A$ und $y\in B$. Falls von $x$ ein (und damit genau ein) Zuordnungspfeil nach $y$ verläuft, dann wird notiert:: $x\mapsto y$	gelesen: „dem $x$ wird das $y$ zugeordnet“ oder: „das $y$ wird dem $x$ zugeordnet“ oder: „aus $x$ wird $y$“, aber nicht: „$x$ wird zugeordnet $y$“ (weil dann nicht klar ist, wer wem zugeordnet wird).
Es sei $x\in A$ und $y\in B$. Falls $x\mapsto y$ bezüglich der Funktion $f$ gilt, dann ist:: $f(x):=y$	$f(x)$ heißt dann Funktionswert von „$x$ bezüglich $f$, gelesen: „f von x“. $f(x)$ muss nicht als Term darstellbar sein.
${{\operatorname {D} }_{f}}:=\{x\in A|$ es gibt ein $y\in B$ mit $y=f(x)\}$	Definitionsmenge von $f$, auch „Definitionsbereich“, es ist ${{\operatorname {D} }_{f}}\subseteq A$. $x$ ist Argument von $f\ \ :\Leftrightarrow \ \ x\in {{\operatorname {D} }_{f}}$.
${{\operatorname {W} }_{f}}:=\{y\in B|$ es gibt ein $x\in A$ mit $y=f(x)\}$	Wertemenge von $f$, auch „Wertebereich“, es ist ${{\operatorname {W} }_{f}}=\{f(x)|x\in A\}\subseteq B$.
Falls ${{\operatorname {D} }_{f}}=A$, dann wird notiert:: $f\,:A\to B$	gelesen: „$f$ ist eine Funktion von $A$ in $B$“. Die Zuordnungspfeile $\mapsto$ und $\to$ sind streng zu unterscheiden, denn z. B. gilt: $\{1\}\to \{2,3\}$ bedeutet: Dem Element $1$ wird eines der beiden Elemente $2$ oder $3$ zugeordnet. $\{1\}\mapsto \{2,3\}$ bedeutet: Der Menge $\{1\}$ wird die Menge $\{2,3\}$ zugeordnet.
Falls $f\,:A\to B$ und ${{\operatorname {W} }_{f}}=B$, dann heißt $f$ surjektiv.	Man sagt dann: „$f$ ist eine Funktion von $A$ auf $B$“
Falls $f$ surjektiv und injektiv ist, dann heißt $f$ bijektiv.	$f$ ist dann eine Bijektion.
Eine beliebige Bijektion einer Menge $A$ auf sich selber ist eine Transformation von $A$.	Automorphismen (z. B. in Algebra und Geometrie) sind stets strukturerhaltende Transformationen.
Eine beliebige Transformation einer endlichen Menge $A$ ist eine Permutation .	Umordnungen der Elemente einer endlichen Menge sind stets Permutationen.
${{\operatorname {G} }_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}$	${{\operatorname {G} }_{f}}$ heißt Graph von $f$ (oder einfach Funktionsgraph). Es gilt ${{\operatorname {G} }_{f}}\subseteq A\times B$.

• Ein „Operator“ ist ebenfalls eine Funktion, in der höheren Mathematik meist von einem Vektorraum in einen Vektorraum, im Mathematikunterricht z. B. beim Aspekt „Bruch als Operator“.

• Ein „Funktional“ ist ein Operator von einem „Funktionenraum“ in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ (z. B. „bestimmtes Integral“).

Didaktische Vertiefung

Funktionsdefinition

• Ein wesentlicher Aspekt beim Funktionsbegriff ist die eindeutige Zuordnung, die mit „rechtseindeutig“ erfasst werden kann, ohne schon ${{\operatorname {D} }_{f}}:=\{x\in A|$ es gibt ein $y\in B$ mit $y=f(x)\}$ mit voraussetzen zu müssen.
• Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, wenn also ${{\operatorname {D} }_{f}}:=\{x\in A|$ es gibt ein $y\in B$ mit $y=f(x)\}$ gilt, wird jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet, so dass also $f\,:A\to B$ gilt. Es bietet sich für den Mathematikunterricht an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben).
• Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o).
• Die symbolische Darstellung „$f\,:A\to B$“ ist eine Aussage (bzw. Eigenschaft) und bedeutet definitionsgemäß und ist so zu lesen: „$f$ ist eine Funktion von $A$ in $B$“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, $f\,:A\to B$ eine „Funktion“ zu nennen, sondern korrekt wäre z. B. entweder „die Funktion $f$ von $A$ in $B$“ oder „die Funktion $f$ mit der Eigenschaft $f\,:A\to B$“.
• Es ist zu beachten, dass bei Funktionen der mit dem Symbol $f(x)$ bezeichnete „Funktionswert“ (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) nicht notwendig ein Term sein muss, so dass man hier besser nicht immer von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganz anders ist die Situation bei Funktionenplottern, die nur die Darstellung termdefinierter Funktionen ermöglichen können.
• Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit „überschaubar“ endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle „darstellen“ (also konkret erzeugen), und man kann sich dann sogar jede (auch nicht termdefinierte) Funktion mit endlichem Definitionsbereich als Tabelle zumindest „vorstellen“. Diese „Vorstellung“ von „Funktion als Tabelle“ gilt dann offenbar auch für jede termdefinierbare Funktion mit abzählbarem Definitionsbereich (genannt „Folge“), und wir können das gedanklich auch auf nicht termdefinierte Folgen fortsetzen, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei $f(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$ die $n$-te Dezimalstelle von $\pi$, also $f(0)=3$, $f(1)=1$, $f(2)=4$ ..., dann lässt sich dies mit einer (gedachten!) unendlichen Tabelle erfassen und so also auch „vorstellen.“
• Nur dann, wenn $y=f(x)$ gilt und $f(x)$ für alle betrachteten $x$ ein Term ist, kann man also „$y=f(x)$“ eine Funktionsgleichung nennen.

Funktionsgraph

• Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß ${{\operatorname {G} }_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}$ resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare $(x,f(x))$ durch Punkte in einem Koordinatensystem, wobei diese Wertepaare $(x,f(x))$ nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir $f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname {G} }_{f}}$.
• Konsequenz: Es gibt in formaler Hinsicht keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man beide so wie oben mengentheoretisch definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion ist und man in der Tat beispielsweise eine „Parabel als quadratische Funktion“ auffassen kann. Auch der von einem Funktionenplotter erzeugte Funktionsplot kann damit als eine „Funktion“ aufgefasst werden.

Fazit

Diese Betrachtungen führen zunächst zu einer „Weite“ des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs und leiten über zu den „vielen Gesichtern von Funktionen“.
Aber: Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ auf höherem Niveau beweistechnisch sehr gute Möglichkeiten eröffnet und dass auch auf „elementarem“ Niveau (und damit im Mathematikunterricht) in „sauberer“ Sprech- und Schreibweise möglichst unterschieden werden sollte zwischen:

• die Funktion $f$
• der Funktionswert $f(x)$
• die graphische Darstellung von $f$    bzw.    der Graph von $f$

Dieser hier scheinbar immanent vorliegende Widerspruch gründet sich auf die kontextabhängigen „vielen Gesichter von Funktionen“, und er kann und sollte bei strengem Vorgehen durchaus vermieden werden. Bei der jedoch faktisch vorliegenden Vielfalt dessen, was Anwender jeweils unter „Funktion“ verstehen, ist es sinnvoll, flexibel mit diesen „Gesichtern“ umgehen zu können. Das betrifft beispielsweise auch die oft so genannten „Funktionen mehrerer Veränderlicher“, die im folgenden Abschnitt „sauber“ definiert werden.

Mehrstellige Funktionen

Definition:

Es sei $n\in {{\mathbb {N} }^{*}}$ (also $n>0$), ferner seien ${{A}_{1}},\ \ldots ,\ {{A}_{n}},B$ nicht leere Mengen, und es sei $f\,:{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}}\to B$.

Dann ist $f$ eine $n$-stellige Funktion.

• Für die Funktionswerte gilt also $f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})\in B$.
• Mehrstellige Funktionen pflegt man heute wieder wie früher oft „Funktionen mehrerer Veränderlicher“ zu nennen. Das ist streng genommen nicht korrekt, weil ja nicht die Funktion „Veränderliche“ hat; vielmehr sind die Funktionswerte im Falle termdefinierter Funktionen Funktionsterme, die aus den Variablen ${{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}$ aufgebaut sind: Es liegen dann also Funktionsterme in mehreren Veränderlichen (bzw.: in mehreren Variablen) vor.
• Mit  $f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})=:y$   ist   $({{x}_{n}},\ldots ,{{x}_{n}},y)=(({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}),y)\in ({{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}})\times B={{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}}\times B$, und damit ist jede $n$-stellige Funktion zugleich eine $(n+1)$-stellige Relation.

Literatur

• Deiser, Oliver [2010]: Einführung in die Mengenlehre. Berlin / Heidelberg: Springer (3., korrigierte Auflage; 1. Auflage 2000; 2., korrigierte und erheblich erweiterte Auflage 2004).
• Felgner, Ulrich [2002]: Der Begriff der Funktion. In: Felix Hausdorff – Gesammelte Werke Band II, Grundzüge der Mengenlehre. New York / Berlin / Heidelberg: Springer, S. 621–633.
• Herget, Wilfried & Malitte, Elvira & Richter, Karin [2000]: Funktionen haben viele Gesichter – auch im Unterricht! In: Flade, Lothar & Herget, Wilfried (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS – Anregungen für die Sekundarschulen. Berlin: Verlag Volk und Wissen, 2000, 115–124.
• Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Horst Hischer (2013): Funktion: mengentheoretische Auffassung. Version vom 28.08.2013. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Funktion:_mengentheoretische_Auffassung&oldid=12337.