Lineare Funktionen

Die lineare Funktion gehört zu den ersten elementaren Funktionen, die die Schüler/innen kennenlernen. Sie kann auf unterschiedlichste Weise definiert werden:

• Eine lineare Funktion ist eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch folgende Funktionsgleichung definiert ist: $f(x)=y=mx+n$. Die Variablen $m$ und $n$ sind aus dem Bereich der reellen Zahlen, wobei m den Anstieg und n den Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der Ordinatenachse) beschreibt.

• Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, die die Ordinatenachse in nur einem Punkt schneidet.

• Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Anstieg (Steigung, Zuwachsrate) konstant ist.

Typischer Weise wird die lineare Funktion in der 8. Klasse nach den proportionalen Funktionen der Form $f(x)=y=mx$ eingeführt.

Aufgabenbeispiele

Einführungsbeispiele

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie man die linearen Funktionen einführen kann.

1. Proportionale Zuordnung

Die wohl am meisten gewählte Form ist die der proportionalen Zuordnung, denn diese ist den Schülern bereits bekannt. Das Vorwissen der Schüler wird zur Einleitung verwendet, wodurch der neue Themenkomplex nicht komplett neu erscheint und bereits erlerntes Wissen mit angewendet und gleichzeitig wiederholt werden kann. Ein solches Beispiel könnte sein:

Eine Schraubenfeder wird durch Anhängen von Gewichtsstücken von je 0,5N gedreht. Es wird nun die Verlängerung gemessen, die die Feder durch die betreffende Belastung erfährt.

Belastung(in N)	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Verlängerung (in cm)	4,6	9,1	13,7	18,2	22,8	27,4

Er ergibt sich folgendes Bild:

Oder man berechnet den Quotienten der einander zugeordneten Maßzahlen. Es gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4,6:0,5=9,2; 9,1:1,0=9,1; … }

Erfasst man die jeweilige Belastung durch die Variable x und die zugehörige Verlängerung durch die Variable y, so gilt: $y:x=9,1\Rightarrow f(x)=9,1x$

Betrachtet man jedoch die Gesamtlänge der Feder anstatt der Verlängerung. So ergibt sich folgendes. Hierbeit muss beachtet werden, dass die Feder ohne Belastung 7,4 cm lang ist.

Belastung(in N)	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Länge (in cm)	7,4	12,0	16,5	61,1	25,6	30,2	34,8

Die Funktion g ist soweit nach oben verschoben, wie es der Länge der unbelasteten Feder entspricht, also um 7,4. Daraus ergibt sich der folgender Funktionsterm: $g(x)=9,1x+7,4$

2. Song

Dies wäre eine willkommene Abwechslung für die Schüler. Der Song liefert alle wichtigen Zusammenhänge für lineare Funktionen. Die Lehrperson könnte ihn am Anfang einsetzen. Es könnte sein, dass es zu viel Neues ist für die Schüler. Aber die Lehrkraft könnte dann das Gehörte Stück für Stück erarbeiten und am Ende der Einheit darauf zurückkommen, denn dadurch merken es sich die Schüler eventuell besser.

Der Song ist zufinden unter: [1]

3. Alltagbeispiel

Carmens Schultag: Carmens Schultag beginnt um 7 Uhr. Sie fährt zunächst mit dem Bus zur Schule. Um 8Uhr beginnt der Unterricht. Von 9.30Uhr bis 9.50Uhr und von 11.20Uhr bis 11.40Uhr ist Pause. Um 13.10Uhr endet der Unterricht. Um 14Uhr ist Carmen wieder zu Hause.

a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Gesamtzeit der Abwesenheit von zu Hause -> reine Unterrichtszeit
b) Zeichne einen entsprechenden Graphen für deinen eigenen Schultag.

Diese Aufgabe beruht auf dem Alltag der Schüler. Sie können es nachvollziehen und ihre eigenen Erfahrungen mit einbringen. Natürlich kann die Lehrkraft dieses Beispiel auf die eigene Schule und die eigenen Schüler anpassen. Es wird erst einmal nichts Neues gelehrt, denn auch hier geht es um den bekannten Stoff der Zuordnung.

Allgemeine Beispiele für lineare Funktionen:

Am Anfang der Lehreinheit ist es wichtig, dass Schülerinnen und Schüler einen Bezug zu dem Stoff finden und da ist der Lehrer gefragt. Dies gelingt am besten mithilfe von Alltagsbeispielen. Ein häufig gewähltes Beispiel ist die Kostenfunktion – egal, ob es um die Handyrechnung, einen Internettarif oder der Preis für Eiskugeln handelt. Man geht von einem Grundpreis aus, doch dieser erhöht sich in einem gewissen Zeitraum um eine Summe x.

Es gibt viele Beispiele für die Anwendung von linearen Funktionen:

Aufgabenblatt "Schlange" [2]
Aufgabenblatt "Flugzeug" [3]
Aufgabenblatt "Temperaturwechsel" [4]
Aufgabenblatt "Fallschirm" [5]
Interessante Beispiele auch in Weitendorf

Probleme mit linearen Funktionen

Ein häufiges Problem im Themengebiet der linearen Funktionen stellt die Abgrenzung von Begrifflichkeiten dar. So sind die linearen Funktionen im Bereich der reellen Zahlen zu unterscheiden von den linearen Funktionen in einem Vektorraum. Die linearen Funktionen müsste man demnach eigentlich affine Funktionen nennen, da die Definition der Linearität hier nicht zutrifft. Eine weitere Schwierigkeit stellt der Begriff des Anstiegs dar. Hierbei handelt es sich um ein sprachliches Problem, da das Wort "Anstieg" bereits eine aufwärts gerichtete Gerade hervortäuscht. Demnach muss man als Lehrer/in bedenken, dass die Schüler/innen zunächst annehmen, dass ein Anstieg immer positiv ist. Bei der Einführung des Begriffes sollte also darauf geachtet werden, dass auf dieses Problem aufmerksam gemacht wird.

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Lineare Funktionen. Version vom 22.01.2013. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Lineare_Funktionen&oldid=9587.