Lineare Funktionen

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Lineare Funktionen: Visualisierung von „Steigung“>

Die meist so genannten „linearen Funktionen“ gehören zu den ersten sog. „elementaren Funktionen“, die im Mathematikunterricht auftreten.
Für den schulischen Kontext gilt folgende umfassende
Definition:

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit $m\in \mathbb {R}$, $b\in \mathbb {R}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x+b} für alle $x\in \mathbb {R}$.

$f$ ist dann eine lineare Funktion.

Das Schaubild des Funktionsgraphen von $f$ ist eine Gerade mit der Steigung $m$. Stellt man diese Gerade in einem kartesischen Koordinatensystem mit der $x$-Achse als Rechtsachse und der $y$-Achse als Hochachse dar, so ist $b$ der sog. $y$-Achsenabschnitt, die Gerade verläuft also durch den Punkt mit den Koordinaten $(0;b)$.

Ergänzungen und Anmerkungen

• Im Mathematikunterricht tauchen lineare Funktionen anfangs noch nicht von $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ auf, sondern allenfalls von $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {Q}$ oder sogar nur von Teilmengen davon.
• Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz".
• Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben.
• Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f(x)=m·x} , also ist dann $b=0$. Funktionen vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x+b} müssten daher eigentlich „affine Funktionen“ genannt werden, kompromissweise ist auch „affin-lineare Funktionen“ denkbar.
• Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x} , also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“.

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2016): Lineare Funktionen. Version vom 14.06.2016. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Lineare_Funktionen&oldid=24706.