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Version vom 20. August 2013, 16:25 Uhr
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Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung bzw. Struktur nicht verliert, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung bzw. Struktur nicht verliert, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.
==Definitionen==
==Definitionen==
===Grundlegende Definitionen===
Der formalmathematischen Definition von „Relation liegt“ das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt. In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden, aber dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) gelang es 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
Der formalmathematischen Definition von „Relation liegt“ das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt. In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden, aber dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) gelang es 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
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! Definitionen !! Anmerkungen
! Definitionen !! Anmerkungen
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| ''Voraussetzung:'' Es seien <math>A,B,R</math> Mengen und <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}</math> (also <math>n>1</math>). ||
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| Für beliebige Objekte <math>a, b</math> gilt::
| Für beliebige Objekte <math>a, b</math> gilt::
<math>(a,b)</math> lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
<math>(a,b)</math> lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
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| Für beliebige Mengen <math>A, B</math> gilt:: <math>A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}</math> || <math>A\times B</math> heißt „'''Produktmenge'''“ oder „'''kartesisches Produkt'''“ (von <math>A</math> und <math>B</math>).<br />
| : <math>A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}</math> || <math>A\times B</math> heißt „'''Produktmenge'''“ oder „'''kartesisches Produkt'''“ (von <math>A</math> und <math>B</math>).<br />
<math>A\times B</math> lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
<math>A\times B</math> lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
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| Für alle <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}</math> ist eine '''<math>n</math>-stellige Relation''' eine Menge, die nur aus geordneten <math>n</math>-Tupeln besteht. || 2-stellige Relationen heißen auch „'''binäre''' Relationen“, sie bestehen damit nur aus geordneten Paaren.
| <math>R</math> ist genau dann eine '''<math>n</math>-stellige Relation''', wenn <math>R</math> nur aus geordneten <math>n</math>-Tupeln besteht. || 2-stellige Relationen heißen auch „'''binäre''' Relationen“, sie bestehen damit nur aus geordneten Paaren.
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| <math>R</math> ist genau dann eine Relation '''von <math>A</math> nach <math>R</math>''', wenn <math> R\,\subseteq \,A\,\times \,B</math> gilt.
|| Die geometrische Beziehung ''„Punkt liegt auf Gerade“'' ist eine Relation von einer Punktmenge '''nach''' einer Geradenmenge.
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| <math>R</math> ist genau dann eine Relation '''in <math>A</math>''', wenn <math> R\,\subseteq \,A\,\times \,A</math> gilt. || Die ''„Größer-als-Beziehung“'' ist eine Relation '''in''' einer Menge von Zahlen.
|}
Für binäre Relationen wird folgende '''Schreibweise''' vereinbart:: <math>xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R</math>
===Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===
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! Definitionen !! Anmerkungen
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| ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> seien Mengen, <math>R\ne \varnothing</math> und <math>R\subseteq M\times M</math>. || Beispiel
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| <math>R</math> ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann <math>yRx</math> || Beispiel
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| <math>R</math> ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann '''nicht''' <math>yRx</math> ) || Beispiel
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| <math>R</math> ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRx</math> dann <math>x=y</math> || Beispiel
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| <math>R</math> ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRz</math> dann <math>xRz</math> || Beispiel
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| Beispiel || Beispiel
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| Beispiel || Beispiel
| Beispiel || Beispiel