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<small><small>Verfasst von [[Horst Hischer]]</small></small>
<small><small>Verfasst von [[Horst Hischer]]</small></small>
==Übersicht <small><small><ref>Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref></small></small>==
==Übersicht <small><small><ref>Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref></small></small>==
Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik mit Bezug auf den Gebrauch in der Philosophie im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet, und so wird es im einfachsten Fall im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen bzw. genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, also darum, ob <math>a</math> zu <math>b</math> „gehört“ bzw. ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls etwa <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden<br />
Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math>
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math> bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als eine ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als eine ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />
bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung und Struktur nicht verliert, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung bzw. Struktur nicht verliert, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.
==Definitionen==
==Definitionen==
===Grundlegende Definitionen===
===Grundlegende Definitionen===
Der formalmathematischen Definition von „Relation liegt“ das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt. In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden, aber dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) gelang es 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
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| Für beliebige Objekte {{sp}} <math>a, b</math> {{sp}} gilt::
| Für beliebige Objekte {{sp}} <math>a, b</math> {{sp}} gilt::
<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math>|| <math>(a,b)</math> {{sp}} heißt „'''geordnetes Paar'''“.<br />
<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math>|| <math>(a,b)</math> {{sp}} heißt „'''geordnetes Paar'''“.<br />
Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass <math>(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b</math> gilt.<br />
Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass <math>(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b</math> gilt.<br />
<math>(a,b)</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
<math>(a,b)</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
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<math>A\times B</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
<math>A\times B</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
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| <math>R</math> {{sp}} ist genau dann eine '''<math>n</math>-stellige Relation''', wenn {{sp}} <math>R</math> {{sp}} nur aus geordneten <math>n</math>-Tupeln besteht. || 2-stellige Relationen heißen auch „'''binäre''' Relationen“, sie bestehen damit nur aus geordneten Paaren.
| <math>R</math> {{sp}} ist genau dann eine '''<math>n</math>-stellige Relation''', wenn {{sp}} <math>R</math> {{sp}} aus geordneten <math>n</math>-Tupeln besteht. || 2-stellige Relationen heißen auch „'''binäre''' Relationen“, sie bestehen aus geordneten Paaren.
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| <math>R</math> {{sp}} ist genau dann eine Relation '''von <math>A</math> nach <math>R</math>''', wenn {{sp}} <math> R\,\subseteq \,A\,\times \,B</math> {{sp}} gilt.
| <math>R</math> {{sp}} ist genau dann eine Relation '''von <math>A</math> nach <math>B</math>''', wenn {{sp}} <math> R\,\subseteq \,A\,\times \,B</math> {{sp}} gilt.
|| Die geometrische Beziehung ''„Punkt liegt auf Gerade“'' ist eine Relation von einer Punktmenge '''nach''' einer Geradenmenge.
|| Die geometrische Beziehung ''„Punkt liegt auf Gerade“'' ist eine Relation von einer Punktmenge '''nach''' einer Geradenmenge.
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! Definitionen !! Anmerkungen
! Definitionen !! Anmerkungen
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| ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math>“''.
| ''Voraussetzung:'' <math>M,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math>“''.
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).
| <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>yRx</math>. ) || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).
| <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRx</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref>
| <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRx</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen ''verschiedenen'' Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref>
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRz</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>xRz</math>. || Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen).
| <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRz</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>xRz</math>. || Wenn eine mittelbare Verbindung, dann eine direkte (Existenz von Überbrückungspfeilen).
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''reflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> {{sp}} <math>xRx</math>. || Überall Schleifen.
| <math>R</math> {{sp}} ist '''reflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} <math>xRx</math>. || Überall Schleifen.
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen.
| <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen.
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „conecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.</ref>
| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y \in M:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „conecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.</ref>
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* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.