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===Inhaltliche Fokussierung===

===Inhaltliche Fokussierung===

Die inhaltliche Fokussierung erfolgte im weiteren Verlauf der Arbeit fast automatisch in eine bestimmte Richtung. Eine Stärke von DGS-basierten Applikationen liegt in der Dynamisierung, die von Simultanität in verschiedenen Darstellungsformen funktionaler Abhängigkeiten geprägt ist.  Basierend auf der Lektüre diverser Arbeiten zu Schwierigkeiten mit dem Funktionsbegriff und mit funktionalem Denken wurden einige Testaufgaben zusammengestellt, die Mathematikstudierenden des ersten Semesters an der TU Berlin, sowie Schülerinnen und Schülern eines Berliner Gymnasiums am Ende der 10. Klasse gestellt wurden. Die Lösungen der Testaufgaben bestätigten die Ergebnisse diverser anderer Autoren. Es zeigt sich, dass viele Lernende funktionale Abhängigkeiten als rein  ''statische'' Phänomene wahrnehmen, also deren ''Zuordnungsaspekt'' sehen, während eine ''dynamische Sicht'' (''Änderungsaspekt'') und eine Sicht auf ''Funktion als Objekt'' (''Objektaspekt'') oft Schwierigkeiten bereitet. Die Nutzung von DGS ermöglicht aber die Hervorhebung der beiden letztgenannten Aspekte.  

Die inhaltliche Fokussierung erfolgte im weiteren Verlauf der Arbeit fast automatisch in eine bestimmte Richtung. Eine Stärke von DGS-basierten Applikationen liegt in der Dynamisierung, die von Simultanität in verschiedenen Darstellungsformen funktionaler Abhängigkeiten geprägt ist.  Basierend auf der Lektüre diverser Arbeiten zu Schwierigkeiten mit dem Funktionsbegriff und mit funktionalem Denken wurden einige Testaufgaben zusammengestellt, die Mathematikstudierenden des ersten Semesters an der TU Berlin sowie Schülerinnen und Schülern eines Berliner Gymnasiums am Ende der 10. Klasse gestellt wurden. Die Lösungen der Testaufgaben bestätigten die Ergebnisse diverser anderer Autoren. Es zeigt sich, dass viele Lernende funktionale Abhängigkeiten als rein  ''statische'' Phänomene wahrnehmen, also deren ''Zuordnungsaspekt'' sehen, während eine ''dynamische Sicht'' (''Änderungsaspekt'') und eine Sicht auf ''Funktion als Objekt'' (''Objektaspekt'') oft Schwierigkeiten bereitet. Die Nutzung von DGS ermöglicht aber die Hervorhebung der beiden letztgenannten Aspekte.  

Eine typische Verwendung von Funktionen liegt gerade in der Beschreibung von Änderungsverhalten, welches seinerseits natürlicherweise zu Konzepten der Analysis führt. Durch spezielle Gestaltung der interaktiven Visualisierungen kann man den ''Änderungsaspekt'' und den ''Objektaspekt'' funktionaler Abhängigkeiten ''erlebbar'' machen und dadurch einen intuitiven Zugang zu Konzepten der Analysis schaffen. Dies ist insofern von Bedeutung, als dass dem Analysisunterricht häufig dessen Kalkülorientierung vorgeworfen wird.  Somit hat sich für die Arbeit folgender inhaltlicher Fokus ergeben: Die Entwicklung und Umsetzung interaktiver Lernumgebungen, die - basierend auf der Idee des dynamischen Darstellungstransfers bei Funktionen - einen inhaltlich-qualitativen Zugang zu Konzepten der Differential- und Integralrechnung in einem propädeutischen Analysisunterricht ermöglichen sollen und vor der Behandlung des Kalküls eingesetzt werden können.   

Eine typische Verwendung von Funktionen liegt gerade in der Beschreibung von Änderungsverhalten, welches seinerseits natürlicherweise zu Konzepten der Analysis führt. Durch spezielle Gestaltung der interaktiven Visualisierungen kann man den ''Änderungsaspekt'' und den ''Objektaspekt'' funktionaler Abhängigkeiten ''erlebbar'' machen und dadurch einen intuitiven Zugang zu Konzepten der Analysis schaffen. Dies ist insofern von Bedeutung, als dass dem Analysisunterricht häufig dessen Kalkülorientierung vorgeworfen wird.  Somit hat sich für die Arbeit folgender inhaltlicher Fokus ergeben: Die Entwicklung und Umsetzung interaktiver Lernumgebungen, die - basierend auf der Idee des dynamischen Darstellungstransfers bei Funktionen - einen inhaltlich-qualitativen Zugang zu Konzepten der Differential- und Integralrechnung in einem propädeutischen Analysisunterricht ermöglichen sollen und vor der Behandlung des Kalküls eingesetzt werden können.   

===Kapitel 2: Grundideen und Gestaltungsprinzipien der interaktiven Visualisierungen===

===Kapitel 2: Grundideen und Gestaltungsprinzipien der interaktiven Visualisierungen===

In Kapitel 2 werden die Grundideen und Gestaltungsprinzipien der interaktiven Lernumgebungen anhand der Lernumgebung Dreiecksfläche beschrieben und erörtert. Die interaktiven Visualisierungen akzentuieren die dynamische Komponente des funktionalen Denkens durch ''dynamischen Repräsentationstransfer zwischen Situation und Graph''. Durch eine ''zweistufige dynamische Visualisierung'' wird dabei sowohl der ''Änderungsaspekt'' als auch der ''Objektaspekt'' funktionaler Abhängigkeiten hervorgehoben und erlebbar gemacht. Dabei stehen qualitative Betrachtungen funktionaler Abhängigkeiten und deren Beschreibung im Vordergrund. Es zeigt sich, dass die Lernumgebung ''Dreiecksfläche'' zu einer qualitativen Entdeckung von Funktionseigenschaften wie Monotonie,oder Existenz einer Wendestelle,und derer qualitativen Beschreibung führen kann. Darüber hinaus zeigt die Lernumgebung über einen propädeutischen Zugriff auf die Analysis auch ihre Qualitäten hinsichtlich des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.  Auf die Darstellung der Gestaltungsprinzipien folgt eine Erörterung der Rolle von Visualisierungen in Mathematik und Mathematikunterricht allgemeinerer Natur, durch die weitere Aspekte ergänzt werden. Abschließend wird die Herangehensweise im Vergleich zu anderen Ansätzen mit Technologieeinsatz beim Thema Funktionen und Analysis abgegrenzt und eingeordnet.

In Kapitel 2 werden die Grundideen und Gestaltungsprinzipien der interaktiven Lernumgebungen anhand der Lernumgebung Dreiecksfläche beschrieben und erörtert. Die interaktiven Visualisierungen akzentuieren die dynamische Komponente des funktionalen Denkens durch ''dynamischen Repräsentationstransfer zwischen Situation und Graph''. Durch eine ''zweistufige dynamische Visualisierung'' wird dabei sowohl der ''Änderungsaspekt'' als auch der ''Objektaspekt'' funktionaler Abhängigkeiten hervorgehoben und erlebbar gemacht. Dabei stehen qualitative Betrachtungen funktionaler Abhängigkeiten und deren Beschreibung im Vordergrund. Es zeigt sich, dass die Lernumgebung ''Dreiecksfläche'' zu einer qualitativen Entdeckung von Funktionseigenschaften (wie Monotonie oder Existenz einer Wendestelle) und derer qualitativen Beschreibung führen kann. Darüber hinaus zeigt die Lernumgebung über einen propädeutischen Zugriff auf die Analysis auch ihre Qualitäten hinsichtlich des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.  Auf die Darstellung der Gestaltungsprinzipien folgt eine Erörterung der Rolle von Visualisierungen in Mathematik und Mathematikunterricht allgemeinerer Natur, durch die weitere Aspekte ergänzt werden. Abschließend wird die Herangehensweise im Vergleich zu anderen Ansätzen mit Technologieeinsatz beim Thema Funktionen und Analysis abgegrenzt und eingeordnet.

===Kapitel 3: Die Lernumgebungen und deren mathematikdidaktischer Hintergrund===

===Kapitel 3: Die Lernumgebungen und deren mathematikdidaktischer Hintergrund===