Änderungen

<br /> + <math>0,\overline{9} = 0,999.999.999.999...</math>

<br /> + <math>0,\overline{9} = 0,999.999.999.999...</math>

<br /> = <math> \epsilon + 0,\overline{9} = 1,000.000.000.999 >  1</math>, im Widerspruch zur Annahme.

<br /> = <math> \epsilon + 0,\overline{9} = 1,000.000.000.999 >  1</math>, im Widerspruch zur Annahme.

<br /> Dies ergibt sich ganz genauso für jedes <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit ''k'' aus den natürlichen Zahlen, man erhält stets einen Widerspruch zur Annahme. Da <math>0,\overline{9} > 1</math> ohnehin ausgeschlossen werden kann, muss <math> \textstyle 0,\overline{9} = 1</math> sein. Es gibt also keinen Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,\overline{9} </math>und 1, egal wie klein <math> \epsilon </math> gewählt wird.

<br /> Dies ergibt sich ganz genauso für jedes <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit ''k'' aus den natürlichen Zahlen, man erhält stets einen Widerspruch zur Annahme. Da <math>0,\overline{9} > 1</math> ohnehin ausgeschlossen werden kann, muss <math> \textstyle 0,\overline{9} = 1</math> sein. Es gibt also keinen Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,\overline{9} </math> und 1, egal wie klein <math> \epsilon </math> gewählt wird.

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref name="Vogel"> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: Analysis verständlich unterrichten. Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref name="Vogel"> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: Analysis verständlich unterrichten. Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>