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Die Einführung der Produktregel stellt nun jedoch eine Herausforderung dar, da sich die zunächst angenommene Formel (f*g)'=f'*g' als falsch erweist. Eher unproblematisch ist hingegen die Aussage, dass das Produkt differenzierbar ist, da dies bereits von der Konvergenz her bekannt ist.<ref name="Rüthing" /> Nun muss allerdings zunächst eine entsprechende Regel gefunden werden und dere Gültigkeit bewiesen werden. Für die konkrete Einführung der Produktregel sind nun verschiedene Methoden möglich, die sich in ihrem Schwierigkeitsgrad und ihrer Herangehensweise unterscheiden.
Die Einführung der Produktregel stellt nun jedoch eine Herausforderung dar, da sich die zunächst angenommene Formel (f*g)'=f'*g' als falsch erweist. Eher unproblematisch ist hingegen die Aussage, dass das Produkt differenzierbar ist, da dies bereits von der Konvergenz her bekannt ist.<ref name="Rüthing" /> Nun muss allerdings zunächst eine entsprechende Regel gefunden werden und dere Gültigkeit bewiesen werden. Für die konkrete Einführung der Produktregel sind nun verschiedene Methoden möglich, die sich in ihrem Schwierigkeitsgrad und ihrer Herangehensweise unterscheiden.
=== Beweismöglichkeit 1 ===
=== Elementarer Beweis ===
Als elementarster Beweis der Produktregel dient eine Abschätzung des Differentialquotienten im Sinne des Konvergenzbegriffes von Cauchy unter Verwendung der ε-δ-Konvergenz.<ref name="Rüthing" /> Dieser Ansatz verfolgt jedoch einen sehr hohen formellen Grad und ist daher für die Schülererarbeitung eher ungeeignet. Im Laufe des Beweises erfolgt eine Nullergänzung, die für die Vorstellung der Schüler nicht zu motivieren ist und daher nur schwer angenommen wird. Weiterhin ist die Stetigkeit der Funktionen bereits in der Einführung der Nullergänzung zu berücksichtigen, was eher zu komplex ist.
Als elementarster Beweis der Produktregel dient eine Abschätzung des Differentialquotienten im Sinne des Konvergenzbegriffes von Cauchy unter Verwendung der ε-δ-Konvergenz.<ref name="Rüthing" /> Dieser Ansatz verfolgt jedoch einen sehr hohen formellen Grad und ist daher für die Schülererarbeitung eher ungeeignet. Im Laufe des Beweises erfolgt eine Nullergänzung, die für die Vorstellung der Schüler nicht zu motivieren ist und daher nur schwer angenommen wird. Weiterhin ist die Stetigkeit der Funktionen bereits in der Einführung der Nullergänzung zu berücksichtigen, was eher zu komplex ist.
=== Beweismöglichkeit 2 ===
=== Die Nullergänzung ===
Das Problem der Nullergänzung umgeht man indessen, wenn man von der entsprechenden Regel ausgehend auf den Differenzenquotienten zurückschließt.<ref name="Rüthing" /> Hier wandelt sich die Nullergänzung zu einer gewöhnlichen Nullauflösung, die für die Schüler nicht schwer zu durchschauen ist. Die Notierungs- und Denkrichtung liegen hier im Einklang, so dass dieser Beweis didaktisch ebenso vorteilhafter ist, als die in Beweismöglichkeit 1 skizzierte Vorgehensweise. Zu beachten ist hier jedoch, dass ebenso die Stetigkeit der Funktionen bei den Grenzübergängen berücksichtigt werden muss. Das grundlegende Problem der Regelfindung wird durch diesen Beweis jedoch nicht gelöst.
Das Problem der Nullergänzung umgeht man indessen, wenn man von der entsprechenden Regel ausgehend auf den Differenzenquotienten zurückschließt.<ref name="Rüthing" /> Hier wandelt sich die Nullergänzung zu einer gewöhnlichen Nullauflösung, die für die Schüler nicht schwer zu durchschauen ist. Die Notierungs- und Denkrichtung liegen hier im Einklang, so dass dieser Beweis didaktisch ebenso vorteilhafter ist, als die in Beweismöglichkeit 1 skizzierte Vorgehensweise. Zu beachten ist hier jedoch, dass ebenso die Stetigkeit der Funktionen bei den Grenzübergängen berücksichtigt werden muss. Das grundlegende Problem der Regelfindung wird durch diesen Beweis jedoch nicht gelöst.
=== Beweismöglichkeit 3 ===
=== Beweis mit Hilfe des Spezialfalls f=g ===
Eine weitere von Rüthing vorgestellte Beweisidee sieht zunächst den Zwischenschritt des Beweises des Spezialfalles der Prudktregel für f=g vor.<ref name="Rüthing" /> Hat man vorher die zweite Potenzfunktion eingeführt, kann hier in einer Analogie die Regel formuliert werden:
(f*f)'=2*f'*f
Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen:<br />
2f'(x<sub>0</sub>)f(x<sub>0</sub>)=2 lim (f(x)-f(x<sub>0</sub>))/(x-x<sub>0</sub>) * f(x<sub>0</sub>) = lim (f(x)-f(x<sub>0</sub>))/(x-x<sub>0</sub>) * (f(x<sub>0</sub>)+f(x<sub>0</sub>))= lim (f(x)-f(x<sub>0</sub>))/(x-x<sub>0</sub>) * (f(x)+f(x<sub>0</sub>)) = lim ((f*f)(x)-(f*f)(x<sub>0</sub>))/(x-x<sub>0</sub>)
Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung, möglich: (a*b)=1/4((a+b)<sup>2</sup>-(a-b)<sup>2</sup>).
Wendet man diese auf das Produkt der Funktionen an und verwendet die bekannten Summen- und Potenzregel, so ergibt sich schließlich:<br />
(f*g)'(x<sub>0</sub>)=[1/4((f+g)<sup>2</sup>-(f-g)<sup>2</sup>)]'(x<sub>0</sub>)=1/4(2(f'+g')(f+g)-2(f'-g')(f-g))(x<sub>0</sub>)= f'(x<sub>0</sub>g(x<sub>0</sub>)+f(x<sub>0</sub>)g'(x<sub>0</sub>).
Auf diese Weise gelingt es auch das Problem der Regelfindung zu lösen und dabei gänzlich die Schwierigkeiten der Nullergänzung zu umgehen. Man erkennt also, dass durch das Ausnutzen von Zwischen- und Hilfsschritten der Beweis der Produktregel der Differentialrechnung sehr elementar möglich ist.