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=== Die Nullergänzung ===
=== Die Nullergänzung ===
Die möglichen falschen Schülervorstellungen über die Regel bei der Differentiation von Produkten lassen sich bei der Herleitung positiv nutzen.<ref >[[Hans-Jochem Mertens|Mertens, H.-J.]]: Ein genetischer Zugang zur Produktregel. In: Praxis der Mathematik 23 (1981), H.5, S. 151-152 </ref>. Daher bedarf sie einer besonderen Einführung im Unterricht, der auf verschiedene Weisen erfolgen kann. Geht man zunächst von der falschen Behauptung (f*g)'=f'*g' aus und betrachtet den Differenzenquotienten, so ergibt sich beim Aufspalten und Ausmultiplizieren des Produktes genau die Terme, die als überflüssig gelten und somit Bestandteil der Nullergänzung sind. Somit kann von einer falschen Aussage darauf geschlossen werden, wie der Term zu verändern ist, damit er das richtige Ergebnis liefert. Die Diskrepanzen zwischen Schülervorstellung und tatsächlichem Ergebnis können als Möglichkeit der Herleitung der Nullergänzung dienen
Die möglichen falschen Schülervorstellungen über die Regel bei der Differentiation von Produkten lassen sich bei der Herleitung positiv nutzen.<ref >[[Hans-Jochem Mertens|Mertens, H.-J.]]: Ein genetischer Zugang zur Produktregel. In: Praxis der Mathematik 23 (1981), H.5, S. 151-152 </ref>. Daher bedarf sie einer besonderen Einführung im Unterricht, der auf verschiedene Weisen erfolgen kann. Geht man zunächst von der falschen Behauptung (f*g)'=f'*g' aus und betrachtet den Differenzenquotienten, so ergibt sich beim Aufspalten und Ausmultiplizieren des Produktes genau die Terme, die als überflüssig gelten und somit Bestandteil der Nullergänzung sind. Somit kann von einer falschen Aussage darauf geschlossen werden, wie der Term zu verändern ist, damit er das richtige Ergebnis liefert. Die Diskrepanzen zwischen Schülervorstellung und tatsächlichem Ergebnis können als Möglichkeit der Herleitung der Nullergänzung dienen
Das Problem der Nullergänzung umgeht man indessen, wenn man von der entsprechenden Regel ausgehend auf den Differenzenquotienten zurückschließt.<ref name="Rüthing" /> Hier wandelt sich die Nullergänzung zu einer gewöhnlichen Nullauflösung, die für die Schüler nicht schwer zu durchschauen ist. Die Notierungs- und Denkrichtung liegen hier im Einklang, so dass dieser Beweis didaktisch ebenso vorteilhafter ist, als die in Beweismöglichkeit 1 skizzierte Vorgehensweise. Zu beachten ist hier jedoch, dass ebenso die Stetigkeit der Funktionen bei den Grenzübergängen berücksichtigt werden muss. Das grundlegende Problem der Regelfindung wird durch diesen Beweis jedoch nicht gelöst.
Das Problem der Nullergänzung umgeht man indessen, wenn man von der entsprechenden Regel ausgehend auf den Differenzenquotienten zurückschließt.<ref name="Rüthing" /> Hier wandelt sich die Nullergänzung zu einer gewöhnlichen Nullauflösung, die für die Schüler nicht schwer zu durchschauen ist. Die Notierungs- und Denkrichtung liegen hier im Einklang, so dass dieser Beweis didaktisch ebenso vorteilhafter ist, als die in Beweismöglichkeit 1 skizzierte Vorgehensweise. Zu beachten ist hier jedoch, dass ebenso die Stetigkeit der Funktionen bei den Grenzübergängen berücksichtigt werden muss. Das grundlegende Problem der Regelfindung wird durch diesen Beweis jedoch nicht gelöst.
Auf diese Weise gelingt es auch das Problem der Regelfindung zu lösen und dabei gänzlich die Schwierigkeiten der Nullergänzung zu umgehen. Man erkennt also, dass durch das Ausnutzen von Zwischen- und Hilfsschritten der Beweis der Produktregel der Differentialrechnung sehr elementar möglich ist.
Auf diese Weise gelingt es auch das Problem der Regelfindung zu lösen und dabei gänzlich die Schwierigkeiten der Nullergänzung zu umgehen. Man erkennt also, dass durch das Ausnutzen von Zwischen- und Hilfsschritten der Beweis der Produktregel der Differentialrechnung sehr elementar möglich ist.
=== Herleitung mit Hilfe der Sekantenanstiegsfunktion <ref >[[Heinz Griesel|Griesel, H.]]: Zur Herleitung der Produktregel und der Quotientenregel in der Differentialrechnung. In: Praxis der Mathematik 23 (1981), H.9, S. 276-277 </ref> ===
Die Idee dieses Beweises baut darauf auf, dass die Ableitung als Grenzwert der Sekantenanstiegsfunktion bzw. Differenzenquotientenfunktion aufgefasst wird. Das Ausnutzen der Sekante bietet sich hierbei an, da es ein hohes Maß an bildlicher Vorstellung ermöglicht. Als Voraussetzung ist es ebenso nötig eine Bezeichnung für die Sekantenanstiegsfunktion einzuführen, wie z.B.:
sk<sub>f</sub>=(f(x)-f(a))/(x-a).
Hierdurch kann man durch Umstellen einen Ausdruck für die Funktion f(x) in Abhängigkeit von sk<sub>f</sub> ermitteln. Setzt man nun in den Ansatz der Produktregel für die beiden Funktionen f(x) und g(x) diese Ausdrücke ein, so ergibt sich die Produktregel auf natürliche Weise nachdem der Grenzübergang vollzogen wurde. Auf diese Weise umgeht man erneut das Problem der Nullergänzung und auch die Stetigkeit muss hier nicht extra Erwähnung finden. Der Beweis der [Quotientenregel] kann auf analoge Weise durchgeführt werden.
== Literatur ==
== Literatur ==