Änderungen

''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von 1l haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?''

''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von <math> 1l </math> haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?''

(Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.)

(Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.)

1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt A der Dose (eines Zylinders).

1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt <math> A </math> der Dose (eines Zylinders).

<math>

<math>

A = 2πr² + 2πrh

A = 2\pi r^2 + 2\pi rh

</math>

</math>

Da r und h Strecken darstellen, sind r und h positive reelle Zahlen und größer als Null.

Da <math> r </math> und <math> h </math> Strecken darstellen, sind <math> r </math> und <math> h </math> positive reelle Zahlen und größer als Null.

2.  

2.  

<math>

<math>

A = 2π(r)² + 2π(r)[h]

A = 2\pi (r)^2 + 2\pi (r)[h]

</math>

</math>

A hängt zunächst von den beiden Variablen r und h ab, folglich muss über die Nebenbedingung V = 1l = 1dm³ = 1.000cm³ eine der beiden Variablen ersetzt werden(beispielsweise h).

<math> A </math> hängt zunächst von den beiden Variablen <math> r </math> und <math> h </math> ab, folglich muss über die Nebenbedingung <math> V = 1l = 1dm^3 = 1.000cm^3 </math> eine der beiden Variablen ersetzt werden (beispielsweise <math> h </math>).

V = πr²h -> h = V/(πr²) = 1000/(πr²)    (h bzw. r sind in cm anzugeben)

<math> V = \pi r^2h </math> -> <math> h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi r^2} </math>  (<math> h </math> bzw. <math> r </math> sind in <math> cm </math> anzugeben)

3.  

3.  

<math>

<math>

A = 2πr² + \frac{2000}{r}

A = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}

</math>

</math>

A´ = 4πr - 2000/r²

A´ = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}

</math>

0 = 4πr - 2000/r²

0 = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}

</math>

-> r ≈ 5,419cm

-> <math> r ≈ 5,419cm </math>

A´´ = 4π + 4000/r³ > 0 für alle r > 0   -> lokales Minimum bei r ≈ 5,419cm

A´´ = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 </math> für alle <math> r > 0 </math>  -> lokales Minimum bei <math> r ≈ 5,419cm </math>

4. Betrachtet man den Grenzwert für r gegen Null, bzw. für r gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt A unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.

4. Betrachtet man den Grenzwert für <math> r </math> gegen Null, bzw. für <math> r </math> gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt <math> A </math> unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.

5. r ist bereits unter 3. berechnet wurden. h ergibt sich aus V = πr²h und beträgt rund 10,839cm. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: r ≈ 5,419cm und h ≈ 10,839cm.

5. <math> r </math> ist bereits unter 3. berechnet wurden. <math> h </math> ergibt sich aus <math> V = \pi r^2h </math> und beträgt rund <math> 10,839cm </math>. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: <math> r ≈ 5,419cm </math> und <math> h ≈ 10,839cm </math>.

==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern==

==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern==