Produktregel

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel im Kalkül der Differentiation der Gestalt (f*g)' = f' * g + f * g'

Sie ist die erste Ableitungsregel, die nicht den „natürlichen Erwartungen der Schüler entspricht, sondern unvorbereitet, erstmalig und komplex auftritt“ . Daher bedarf sie einer besonderen Einführung im Unterricht, der auf verschiedene Weisen erfolgen kann.

Anwendungsbeispiele

1. Beispiel

(f*g)= 5x⁴*2x³
f'= 20x³ g'= 6x²
(f*g)'= 20x³*2x³+5x⁴*6x²= 40x⁶+30x⁶=70x⁶

Durch Vereinfachung des Ausgangsterms wäre auch eine Berechnung der Ableitung ohne die Nutzung der Produktregel möglich gewesen.

(f*g)= 10x⁷
(f*g)'= 70x⁶

Für diese Art der Funktionen stellt die Produktregel also eher nicht das angemessene Berechnungskalkül dar.

2. Beispiel

(f*g)= sin(x)*cos(x)
f' = cos(x) g'= -sin(x)
(f*g)'= cos(x)*cos(x)+sin(x)*(-sin(x))= cos²(x)-sin²(x)

Für diese Form der Aufgabe ist eine Nutzung der Produktregel unabdinglich.

Zugänge

Die Produktregel der Differentiation wird in der Regel im Analysisunterricht der Oberstufe eingeführt. Dem vorausgehend sind zunächst elementare Kenntnisse über den Grenzwert von Funktionen zu vermitteln. Ebenso wird zunächst der Differenzenquotient im unterricht vorgestellt, mit dessen Hilfe sich die ersten Ableitungsregel wie die Summen- und Faktorregel beweisen lassen. Diese beiden Regeln erscheinen den Schülern dabei natürlich und sind mit ihren Erwartungen konform. Die Einführung der Produktregel stellt nun jedoch eine Herausforderung dar, da sich die zunächst angenommene Formel (f*g)'=f'*g' als falsch erweist. Für die konkrete Einführung der Produktregel sind nun verschiedene Methoden möglich, die sich in ihrem Schwierigkeitsgrad und ihrer Herangehensweise unterscheiden.