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Entsprechend der Definition der '''Fachgruppe Computeralgebra''' <ref>http://www.fachgruppe-computeralgebra.de/cms/tiki-index.php?page=Fachgruppe+Computeralgebra</ref> ist '''Computeralgebra''' ein Wissenschaftsgebiet, das sich mit Methoden zum Lösen mathematisch formulierter Probleme durch symbolische Algorithmen und deren Umsetzung in Soft- und Hardware beschäftigt. Sie beruht auf der exakten endlichen Darstellung endlicher oder unendlicher  mathematischer Objekte und Strukturen und ermöglicht deren symbolische und formelmäßige Behandlung durch eine Maschine.

Entsprechend der Definition der '''Fachgruppe Computeralgebra''' <ref>http://www.fachgruppe-computeralgebra.de/cms/tiki-index.php?page=Fachgruppe+Computeralgebra</ref> ist '''Computeralgebra''' ein Wissenschaftsgebiet, das sich mit Methoden zum Lösen mathematisch formulierter Probleme durch symbolische Algorithmen und deren Umsetzung in Soft- und Hardware beschäftigt. Sie beruht auf der exakten endlichen Darstellung endlicher oder unendlicher  mathematischer Objekte und Strukturen und ermöglicht deren symbolische und formelmäßige Behandlung durch eine Maschine.

== Geschichte ==

==Zur Geschichte==

Als erstes CAS gilt das seit den 1960er Jahren entwickelte Programm '''Macsyma''', das nun als Open-Source-Version unter dem Namen '''Maxima''' weiterentwickelt wird. In den 1970er Jahren kam '''muMATH''' hinzu und Ende der 1980er Jahre '''Mathematica''' und '''Derive'''. Heute gibt es eine Fülle unterschiedlicher CAS. Noch um 1990 herum war statt ''Computeralgebrasystem'' auch die Bezeichnung ''Formelmanipulationssystem'' üblich.

Als erstes CAS gilt das seit den 1960er Jahren entwickelte Programm '''Macsyma''', das nun als Open-Source-Version unter dem Namen '''Maxima''' weiterentwickelt wird. In den 1970er Jahren kam '''muMATH''' hinzu und Ende der 1980er Jahre '''Mathematica''' und '''Derive'''. Heute gibt es eine Fülle unterschiedlicher CAS. Noch um 1990 herum war statt ''Computeralgebrasystem'' auch die Bezeichnung ''Formelmanipulationssystem'' üblich.

== Grundsätzliche Eigenschaften ==

== Grundsätzliche Eigenschaften ==

 

Die heute verfügbaren Computeralgebrasy­ste­­me können in zwei grund­sätzlich zu unter­­­scheidenden Betriebsarten verwendet wer­den: <ref>Vgl. [Oberschelp 1996], dargestellt auch in [Hischer 2002, 262 ff.].</ref>

 

Die heute verfügbaren Computeralgebrasy­ste­­me können in zwei grund­sätzlich zu unter­­­scheidenden Betriebsarten verwendet wer­den: <ref>Basierend auf Oberschelp, Walter (1996): Computeralgebrasysteme als Implementierung symbolischer Term­algorithmen. In: Hischer, Horst & Weiß, Michael (Hrsg.) (1996): Rechenfertigkeit und Begriffsbildung — Zu wesentlichen Aspekten des Mathematikun­terrichts vor dem Hintergrund von Computeralgebrasystemen. Hildesheim: Franzbecker, S. 31 – 37.

Dargestellt auch in Hischer, Horst (2002): Mathematikunterricht und Neue Medien. Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und fachübergreifender Sicht. Hildesheim: Franzbecker, S. 262 ff.</ref>

* NG: Numerisch-Graphischer Modus   

* NG: Numerisch-Graphischer Modus   

(5) Eine weitere Erweiterung des Termbe­griffs mittels Funktionsvariablen und durch Operatoren (Differentialoperator, Integraloperator, Summenzeichen ...).  

(5) Eine weitere Erweiterung des Termbe­griffs mittels Funktionsvariablen und durch Operatoren (Differentialoperator, Integraloperator, Summenzeichen ...).  

Wenn ein CAS im NG-Modus genutzt wird, so geschieht dies weitgehend im Bereich von (1) bis (3), wobei aber auch (4) und (5) nicht ausgeschlossen sind. Das CAS wird dann im Prinzip nur wie ein programmierbarer Taschenrechner genutzt, der bei Verwendung von (2) über ein Graphik-Display verfügt. Dabei laufen intern Rechenprogramme ab, die auch umfangreiche Numerik-Algo­rith­men benutzen können, z. B. Verfahren zur Null­stel­len­be­stimmung, zur numerischen Dif­fe­­rentiation oder Integration, ferner Inter­po­la­tions- und Approximations-Algorithmen.

Wenn ein CAS im NG-Modus genutzt wird, so geschieht dies weitgehend im Bereich von (1) bis (3), wobei aber auch (4) und (5) nicht ausgeschlossen sind. Das CAS wird dann im Prinzip nur wie ein programmierbarer Taschenrechner genutzt, der bei Verwendung von (2) über ein Graphik-Display verfügt. Dabei laufen intern Rechenprogramme ab, die auch umfangreiche Numerik-Algo­rith­men benutzen können, z. B. Verfahren zur Null­stel­len­be­stimmung, zur numerischen Dif­fe­­rentiation oder Integration, ferner Inter­po­la­tions- und Approximations-Algorithmen.

Das numerische Lösen von Gleichungen, das Darstellen von Funktionsgraphen mit einem integrierten Funktionenplotter und die Anwendung von Operationen und Optionen wie '''approx''' sind Indizien dafür, dass ein CAS im NG-Modus arbeitet, und hierfür benötigt man eigentlich gar kein Computeralgebrasystem!

Das numerische Lösen von Gleichungen, das Darstellen von Funktionsgraphen mit einem integrierten Funktionenplotter und die Anwendung von Operationen und Optionen wie '''approx''' sind Indizien dafür, dass ein CAS im NG-Modus arbeitet, und hierfür benötigt man eigentlich gar kein Computeralgebrasystem!

Das Wesentliche und zugleich Revolutionäre am CAS ist die Möglichkeit symbolischen Rechnens, also des Verarbeitens von Termen im Sinne von (4) und (5), und dies ist zugleich der Kern des ST-Modus. Die Terme werden dabei wie Elemente einer formalen Sprache textlich verarbeitet. Wesentlich und unverzichtbar sind dabei  

Das Wesentliche und zugleich Revolutionäre am CAS ist die Möglichkeit symbolischen Rechnens, also des Verarbeitens von Termen im Sinne von (4) und (5), und dies ist zugleich der Kern des ST-Modus. Die Terme werden dabei wie Elemente einer formalen Sprache textlich verarbeitet. Wesentlich und unverzichtbar sind dabei  

* die Benutzung von Daten- und Methoden-Banken zwecks Bereitstellung geeigneter Verarbeitungsalgorithmen.

* die Benutzung von Daten- und Methoden-Banken zwecks Bereitstellung geeigneter Verarbeitungsalgorithmen.

Damit gehört die­se Art der Verarbeitung in einen zentralen Pro­blem­bereich der Informatik, nämlich in den der Syntaxanalyse ('''Par­sing''') for­maler Sprachen. Die hier auftretenden for­malen Sprachen sind sog. kontextfreie Sprachen (context free languages  –  '''CFL'''). Insbesondere sog. '''Baumstruk­turen''' kön­­nen im Rah­­­men der CFL-Theorie sinnvoll behandelt werden. Baum­struk­­turen spielen bei der Definition von „Term“ eine unentbehrliche Rolle, und sie haben auch Eingang in die Mathematikdidaktik gefunden, um mit ih­rer Hilfe den hierarchischen Aufbau von Ter­men verstehen zu können.  

Damit gehört die­se Art der Verarbeitung in einen zentralen Pro­blem­bereich der Informatik, nämlich in den der Syntaxanalyse ('''Par­sing''') for­maler Sprachen. Die hier auftretenden for­malen Sprachen sind sog. kontextfreie Sprachen (context free languages  –  '''CFL'''). Insbesondere sog. '''Baumstruk­turen''' kön­­nen im Rah­­­men der CFL-Theorie sinnvoll behandelt werden. Baum­struk­­turen spielen bei der Definition von „Term“ eine unentbehrliche Rolle, und sie haben auch Eingang in die Mathematikdidaktik gefunden, um mit ih­rer Hilfe den hierarchischen Aufbau von Ter­men verstehen zu können.  

== Siehe auch ==

==Literatur==

* [[Computeralgebra in der AHS]]

* Oberschelp, Walter [1996]: Computeralgebrasysteme als Implementierung symbolischer Term­algorithmen. In: Hischer, Horst & Weiß, Michael (Hrsg.): Rechenfertigkeit und Begriffsbildung — Zu wesentlichen Aspekten des Mathematikun­terrichts vor dem Hintergrund von Computeralgebrasystemen. Hildesheim: Franzbecker 1996, S. 31–37.

* [[Computeralgebrasysteme im Analysisunterricht – Unterrichtsversuche und ihre didaktische Reflexion]]

** Unger, Heintje [2000]: [[Computeralgebra in der AHS]]

** Aspetsberger, Klaus [2005]: [[Computeralgebrasysteme im Analysisunterricht – Unterrichtsversuche und ihre didaktische Reflexion]]

== Weblinks ==

==Verweise==

 

==Literatur==

<references />

<references />

[[Kategorie:CAS]]

[[Kategorie:CAS]]

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