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Felix '''Hausdorff''' definiert 1914 erstmalig „geordnetes Paar“ auf mengentheoretischer Grundlage (wenn auch noch nicht so elegant wie 1921 [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) und darauf aufbauend „Funktion“ als das, was wir heute ''„binäre, rechtseindeutige Relation“'' nennen: Damit wurde erstmalig der moderne Funktionsbegriff formal sauber definiert, basierend auf den Vorarbeiten vor allem der Mathematiker des 19. Jahrhunderts, wobei die vorherige Betrachtung und Einbeziehung empirischer Funktionen die Abkehr von der Forderung nach einem „Bildungsgesetz“ erzwungen hatte.

Felix '''Hausdorff''' definiert 1914 erstmalig „geordnetes Paar“ auf mengentheoretischer Grundlage (wenn auch noch nicht so elegant wie 1921 [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) und darauf aufbauend „Funktion“ als das, was wir heute ''„binäre, rechtseindeutige Relation“'' nennen: Damit wurde erstmalig der moderne Funktionsbegriff formal sauber definiert, basierend auf den Vorarbeiten vor allem der Mathematiker des 19. Jahrhunderts, wobei die vorherige Betrachtung und Einbeziehung empirischer Funktionen die Abkehr von der Forderung nach einem „Bildungsgesetz“ erzwungen hatte.

==Mengentheoretische Definition <small><small><ref>Vgl. hierzu die ausführlichen Betrachtungen in [Hischer 2012, Kapitel 5].</ref></small></small>==

==Mengentheoretische Betrachtungen <small><small><ref>Vgl. hierzu die ausführlichen Betrachtungen in [Hischer 2012, Kapitel 5].</ref></small></small>==

Unter Bezug auf den mit „binäre [[Relation]]“ bezeichneten Begriff lässt sich „Funktion“ knapp und elegant definieren, wobei hier statt „binäre [[Relation]]“ kurz „[[Relation]]“ gesagt wird: <ref>Auch [Deiser 2010] definiert „Funktion“ als rechtseindeutige Relation.</ref><br />

Unter Bezug auf den mit „binäre [[Relation]]“ bezeichneten Begriff lässt sich „Funktion“ knapp und elegant definieren, wobei hier statt „binäre [[Relation]]“ kurz „[[Relation]]“ gesagt wird: <ref>Auch [Deiser 2010] definiert „Funktion“ als rechtseindeutige Relation.</ref><br />

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| (3) <math>R</math> ist genau dann '''injektiv''', wenn <math>R</math> sowohl rechtseindeutig als auch linkseindeutig ist.

| (3) <math>R</math> ist genau dann '''injektiv''', wenn <math>R</math> sowohl rechtseindeutig als auch linkseindeutig ist.

|| Die [[Zuordnung]] verläuft in beiden Richtungen eindeutig.<br />

|| Die [[Zuordnung]] verläuft in beiden Richtungen eindeutig.<br />

Gleichbedeutend mit ''„injektiv“'' ist ''„eineindeutig“''.

Gleichbedeutend mit ''„injektiv“'' ist „'''eineindeutig'''“.

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! übliche symbolische Darstellungen !! ''Erläuterungen''

! übliche Bezeichnungen bzw. symbolische Darstellungen !! ''Erläuterungen''

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| <math>f</math> sei eine (nicht leere) Funktion und <math>f\subseteq A\times B</math> mit nicht leeren Mengen <math>A</math> und <math>B</math>, ferner <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. || (generelle Voraussetzung für das Folgende)

| <math>f</math> sei eine (nicht leere) Funktion und <math>f\subseteq A\times B</math> mit nicht leeren Mengen <math>A</math> und <math>B</math>. || (generelle Voraussetzung für das Folgende)

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| Falls von <math>x\in A</math> ein (und damit genau ein) Zuordnungspfeil nach <math>y\in B</math> verläuft, dann wird notiert:: <math>x\mapsto y</math>  || gelesen: „dem <math>x</math> wird das <math>y</math> zugeordnet“<br />

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls von <math>x</math> ein (und damit genau ein) Zuordnungspfeil nach <math>y</math> verläuft, dann wird notiert:: <math>x\mapsto y</math>  || gelesen: „dem <math>x</math> wird das <math>y</math> zugeordnet“<br />

oder: „das <math>y</math> wird dem <math>x</math> zugeordnet“<br />

oder: „das <math>y</math> wird dem <math>x</math> zugeordnet“<br />

oder: „aus <math>x</math> wird <math>y</math>“,<br />

oder: „aus <math>x</math> wird <math>y</math>“,<br />

aber nicht : „<math>x</math> wird zugeordnet <math>y</math>“ (weil nicht eindeutig).

aber nicht : „<math>x</math> wird zugeordnet <math>y</math>“ (weil nicht klar, wer wem zugeordnet wird).

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| Falls <math>x\mapsto y</math> bezüglich der Funktion <math>f</math> gilt, dann ist:: <math>f(x):=y</math> || <math>f(x)</math> heißt dann '''Funktionswert''' von „<math>x</math> bezüglich <math>f</math>.<br />

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls <math>x\mapsto y</math> bezüglich der Funktion <math>f</math> gilt, dann ist:: <math>f(x):=y</math> || <math>f(x)</math> heißt dann '''Funktionswert''' von „<math>x</math> bezüglich <math>f</math>, gelesen: „f von x“.<br />

<math>f(x)</math> muss nicht als [[Term]] darstellbar sein. <ref>Vgl. die Anmerkungen [[Funktion#nicht termdefinierbar|zur kulturhistorischen Genese]] des Funktionsbegriffs bezüglich Fourier und Dirichlet.</ref>

<math>f(x)</math> muss nicht als [[Term]] darstellbar sein. <ref>Vgl. die Anmerkungen [[Funktion#nicht termdefinierbar|zur kulturhistorischen Genese]] des Funktionsbegriffs bezüglich Fourier und Dirichlet.</ref>

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| <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> || '''Definitionsmenge''' von <math>f</math>, auch „Definitionsbereich“, <br />es ist <math>{{\operatorname{D}}_{f}}\subseteq A</math>.

| <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> || '''Definitionsmenge''' von <math>f</math>, auch „Definitionsbereich“, es ist <math>{{\operatorname{D}}_{f}}\subseteq A</math>.

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| <math>{{\operatorname{W}}_{f}}:=\{y\in B|</math> es gibt ein <math>x\in A</math> mit <math>y=f(x)\}</math> || '''Wertemenge''' von <math>f</math>, auch „Wertebereich“, <br />es ist <math>{{\operatorname{W}}_{f}}=\{f(x)|x\in A\}\subseteq B</math>

| <math>{{\operatorname{W}}_{f}}:=\{y\in B|</math> es gibt ein <math>x\in A</math> mit <math>y=f(x)\}</math> || '''Wertemenge''' von <math>f</math>, auch „Wertebereich“, es ist <math>{{\operatorname{W}}_{f}}=\{f(x)|x\in A\}\subseteq B</math>.

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| Beispiel || Beispiel<br />  

| Falls <math>{{\operatorname{D}}_{f}}=A</math>, dann wird notiert:: <math>f\,:A\to B</math> || gelesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> '''in''' <math>B</math>“.<br />

Die Zuordnungspfeile <math>\mapsto</math> und <math>\to</math> sind streng zu unterscheiden, denn z. B. gilt:<br />

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