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Eine „Lösungsmenge“ ist die „Menge aller Lösungen“ eines gegebenen mathematischen Problems unter gegebenen Bedingungen (wie etwa Anfangs- und Randbedingungen). Solche Bedingungen lassen sich mit Hilfe von [[Aussageformen]] beschreiben, so etwa mit einem System von Gleichungen und Ungleichungen. Im Mathematikunterricht geht es dann i. d. R. um Lösungsmengen von Gleichungen oder Ungleichungen.<br />
== Mathematischer Sachverhalt ==
Es sei <math>A(x)</math> eine [[Aussageform]] und <math>M</math> eine Menge zulässiger bzw. sinnvoller Einsetzungen für <math>x</math> in <math>A(x)</math>, sodass bei Einsetzung eines konkreten Wertes für <math>x</math> in <math>A(x)</math> entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht.<br />
Ist nun <math>\varnothing\ne G\subseteq M</math> und <math>L:=\{x \in G|A(x)\}</math> (d. h.: <math>L</math> ist die Menge aller derjenigen Elemente aus <math>G</math>, die <math>A(x)</math> in eine wahre Aussage überführen, die also <math>A(x)</math> „lösen“) so heißt <math>L</math> „Lösungsmenge“ von <math>A(x)</math> bezüglich der gewählten „Grundmenge“ <math>G</math>, die man auch genauer mit <math>L_{A(x),G}</math> oder – wenn keine Missverständnisse entstehen – kurz mit <math>L_{G}</math> bezeichnen könnte, um deutlich zu machen, dass diese Lösungsmenge nicht nur von der Aussageform <math>A(x)</math> abhängig ist, sondern insbesondere auch von der jeweiligen Grundmenge <math>G</math>. <math>G</math> kann z. B. eine Menge von Zahlen, von Zahlenpaaren, von Vektoren, von Funktionen, von geometrischen Objekten wie Punkten, Strecken, Figuren usw. sein. So hat beispielsweise eine numerische Gleichung per se noch keine Lösungsmenge, sondern diese hängt wesentlich von der gewählten Grundmenge ab.
<!--== Forschungsumfeld ==
In diesem Abschnitt sollen [[:Kategorie:Institutionen|Arbeitsgruppen]] und [[:Kategorie:Personen|Personen]] benannt werden, die sich mit diesem Begriff in der Forschung beschäftigen. Bitte nutzen Sie die Möglichkeit, auf deren Einträge in Madipedia zu verweisen, auch falls eine Person noch keinen eigenen Eintrag hat.
== Genese ==
Unter der Überschrift Genese können historische Zusammenhänge erläutert werden und die Entwicklung eines Begriffes über die Zeit hinweg dokumentiert werden.<ref name="literatur1"/>
== Fachdidaktische Diskussion ==
Unter dieser Überschrift können fachdidaktische Kontroversen zum Begriff beschrieben werden. Die Diskussion ''über die Seite selbst'' sollte auf der dazugehörigen [[Diskussion:{{PAGENAME}}|Diskussionsseite]] (siehe die Reiter über dem Artikel) geführt werden.-->
== Literatur ==
== Quellen ==
<references />
{{zitierhinweis}}
== Mathematischer Sachverhalt ==
Es sei <math>A(x)</math> eine [[Aussageform]] und <math>M</math> eine Menge zulässiger bzw. sinnvoller Einsetzungen für <math>x</math> in <math>A(x)</math>, sodass bei Einsetzung eines konkreten Wertes für <math>x</math> in <math>A(x)</math> entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht.<br />
Ist nun <math>\varnothing\ne G\subseteq M</math> und <math>L:=\{x \in G|A(x)\}</math> (d. h.: <math>L</math> ist die Menge aller derjenigen Elemente aus <math>G</math>, die <math>A(x)</math> in eine wahre Aussage überführen, die also <math>A(x)</math> „lösen“) so heißt <math>L</math> „Lösungsmenge“ von <math>A(x)</math> bezüglich der gewählten „Grundmenge“ <math>G</math>, die man auch genauer mit <math>L_{A(x),G}</math> oder – wenn keine Missverständnisse entstehen – kurz mit <math>L_{G}</math> bezeichnen könnte, um deutlich zu machen, dass diese Lösungsmenge nicht nur von der Aussageform <math>A(x)</math> abhängig ist, sondern insbesondere auch von der jeweiligen Grundmenge <math>G</math>. <math>G</math> kann z. B. eine Menge von Zahlen, von Zahlenpaaren, von Vektoren, von Funktionen, von geometrischen Objekten wie Punkten, Strecken, Figuren usw. sein. So hat beispielsweise eine numerische Gleichung per se noch keine Lösungsmenge, sondern diese hängt wesentlich von der gewählten Grundmenge ab.
<!--== Forschungsumfeld ==
In diesem Abschnitt sollen [[:Kategorie:Institutionen|Arbeitsgruppen]] und [[:Kategorie:Personen|Personen]] benannt werden, die sich mit diesem Begriff in der Forschung beschäftigen. Bitte nutzen Sie die Möglichkeit, auf deren Einträge in Madipedia zu verweisen, auch falls eine Person noch keinen eigenen Eintrag hat.
== Genese ==
Unter der Überschrift Genese können historische Zusammenhänge erläutert werden und die Entwicklung eines Begriffes über die Zeit hinweg dokumentiert werden.<ref name="literatur1"/>
== Fachdidaktische Diskussion ==
Unter dieser Überschrift können fachdidaktische Kontroversen zum Begriff beschrieben werden. Die Diskussion ''über die Seite selbst'' sollte auf der dazugehörigen [[Diskussion:{{PAGENAME}}|Diskussionsseite]] (siehe die Reiter über dem Artikel) geführt werden.-->
== Literatur ==
== Quellen ==
<references />
{{zitierhinweis}}