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Wittmann konkretisiert das operative Prinzip von Aebli, indem er die Beschränkung auf die Operationen nicht als ausreichend sieht. Er weitet das operative Prinzip von den dynamischen Operationen auf die statischen Objeke aus (vgl. Wittmann). Aus mathematikdidaktischer Sicht betont er die Wichtigkeit der Objekte, auf die, die Operationen angewandt werden und das Handeln mit ihnen.  

Wittmann konkretisiert das operative Prinzip von Aebli, indem er die Beschränkung auf die Operationen nicht als ausreichend sieht. Er weitet das operative Prinzip von den dynamischen Operationen auf die statischen Objeke aus (vgl. Wittmann). Aus mathematikdidaktischer Sicht betont er die Wichtigkeit der Objekte, auf die, die Operationen angewandt werden und das Handeln mit ihnen.  

„Objekte erfassen bedeutet, zu erforschen, wie sie konstruiert sind und wie sie sich verhalten, wenn auf sie Operationen (Transformationen, Handlungen, ...) ausgeübt werden. Daher muss man im Lern- und Erkenntnisprozess in systematischer Weise:

„Objekte erfassen bedeutet, zu erforschen, wie sie konstruiert sind und wie sie sich verhalten, wenn auf sie Operationen (Transformationen, Handlungen, ...) ausgeübt werden. Daher muss man im Lern- und Erkenntnisprozess in systematischer Weise:

1. untersuchen, welche Operationen ausführbar und wie sie miteinander verknüpft sind,

1. untersuchen, welche Operationen ausführbar und wie sie miteinander verknüpft sind,

2. herausfinden, welche Eigenschaften und Beziehungen den Objekten durch Konstruktion aufgeprägt werden,

2. herausfinden, welche Eigenschaften und Beziehungen den Objekten durch Konstruktion aufgeprägt werden,

3. beobachten, welche Wirkungen Operationen auf Eigenschaften und Beziehungen der Objekte haben (was geschieht mit ..., wenn ...?)" (Wittmann 1985, S. 9)

 

3. beobachten, welche Wirkungen Operationen auf Eigenschaften und Beziehungen der Objekte haben (was geschieht mit ..., wenn ...?)" (Wittmann 1985, S.9)

=== Anwendungsbeispiele zum operativen Durcharbeiten ===

=== Anwendungsbeispiele zum operativen Durcharbeiten ===

==== Primarstufe ====  

==== Primarstufe ====  

1) Stecke Würfel zu einer Dreier- und Fünferstange zusammen. Stecke die Stangen anschließend ebenso zusammen. Wie viele Würfel zählst du?

1) Stecke Würfel zu einer Dreier- und Fünferstange zusammen. Stecke die Stangen anschließend ebenso zusammen. Wie viele Würfel zählst du?

2) Fertige eine Zeichnung an, auf der du die Stangen als Streifen aus Quadraten darstellst.  

2) Fertige eine Zeichnung an, auf der du die Stangen als Streifen aus Quadraten darstellst.  

3) Ein Zeichen für das Zusammenfügen von Mengen ist das ,,+“. Notiere das Ergebnis der Aufgabe: 3 + 5 = ?  

3) Ein Zeichen für das Zusammenfügen von Mengen ist das ,,+“. Notiere das Ergebnis der Aufgabe: 3 + 5 = ?  

Diese Aufgabe ermöglicht es Grundschulkindern, sich zunächst haptisch mit den Steckwürfeln auseinanderzusetzen und das Objekt, die Addition, kennenzulernen. Anschließend agieren die Schülerinnen und Schüler auf der figuralen und symbolischen Stufe, indem sie die Gegenstände bildlich und mit Ziffern darstellen. Dabei erhalten die Darstellungen in der figuralen und der symbolischen Form ihre Bedeutung durch Rückbezug auf die enaktive Form. Im Sinne des operativen Prinzips ist für das Verstehen des Objekts Addition ebenfalls wesentlich, dass untersucht wird, wie sich Veränderungen des Objekts, also konkret Veränderungen der Summanden, auswirken So wird beim operativen Durcharbeiten z.B. die Konstanz der Summe bei wechselsinniger Veränderung der Summanden erarbeite. Durch diese Art der Modifikation kann die Denkentwicklung und der Verinnerlichungsprozess der Lernenden weiter angeregt werden.

Diese Aufgabe ermöglicht es Grundschulkindern, sich zunächst haptisch mit den Steckwürfeln auseinanderzusetzen und das Objekt, die Addition, kennenzulernen. Anschließend agieren die Schülerinnen und Schüler auf der figuralen und symbolischen Stufe, indem sie die Gegenstände bildlich und mit Ziffern darstellen. Dabei erhalten die Darstellungen in der figuralen und der symbolischen Form ihre Bedeutung durch Rückbezug auf die enaktive Form. Im Sinne des operativen Prinzips ist für das Verstehen des Objekts Addition ebenfalls wesentlich, dass untersucht wird, wie sich Veränderungen des Objekts, also konkret Veränderungen der Summanden, auswirken So wird beim operativen Durcharbeiten z.B. die Konstanz der Summe bei wechselsinniger Veränderung der Summanden erarbeite. Durch diese Art der Modifikation kann die Denkentwicklung und der Verinnerlichungsprozess der Lernenden weiter angeregt werden.

==== Sekundarstufe I ====   

==== Sekundarstufe I ====   

1) Wie kann man eine Pizza gerecht auf sechs Freunde aufteilen?  

1) Wie kann man eine Pizza gerecht auf sechs Freunde aufteilen?  

2) Teile die Pizza in sechs gleich große Stücke, indem du eine Skizze anfertigst.  

2) Teile die Pizza in sechs gleich große Stücke, indem du eine Skizze anfertigst.  

3) Wie viele Pizzen benötigst du und deine fünf Freunde, wenn jeder eine halbe Pizza essen möchte?

3) Wie viele Pizzen benötigst du und deine fünf Freunde, wenn jeder eine halbe Pizza essen möchte?

4) Als Nachtisch erhaltet ihr zwei Äpfel. Teilt diese mit einem Messer gerecht unter euch auf. Zusatz:  

 

4) Als Nachtisch erhaltet ihr zwei Äpfel. Teilt diese mit einem Messer gerecht unter euch auf.  

Zusatz:  

 

a) Wie ändert sich die Größe der Apfelstücke, wenn zwei deiner Freunde auf den Nachtisch verzichten – welchen Anteil erhält dann jeder von euch?

a) Wie ändert sich die Größe der Apfelstücke, wenn zwei deiner Freunde auf den Nachtisch verzichten – welchen Anteil erhält dann jeder von euch?

b) Einer der beiden Äpfel ist aus unerklärlich Gründen verschwunden. Wie viele von euch sechs Freunden müssten auf den Nachtisch verzichten, damit die verteilten Apfelstücke immer noch so groß sind wie in der Ausgangssituation?

b) Einer der beiden Äpfel ist aus unerklärlich Gründen verschwunden. Wie viele von euch sechs Freunden müssten auf den Nachtisch verzichten, damit die verteilten Apfelstücke immer noch so groß sind wie in der Ausgangssituation?