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Das operative Prinzip zählt – wie beispielsweise das [[Spiralprinzip]] oder das [[genetische Prinzip]] – zu den klassischen didaktischen Prinzipien in der Mathematikdidaktik (Vgl. Reiss, Hammer). Dieses Prinzip folgt aus den wesentlichen Aspekten der Theorien von Jian Piaget und Hans Aebli. Es betont insbesondere das Lernen durch eigenes Handeln und dessen Verinnerlichung. Die Systematik einer mathematischen Aufgabenstellung wird in den Vordergrund gestellt, um Bezüge zwischen mathematischen Sachverhalten herzustellen. Damit ist eine spezifische Form des systematischen und produktiven Übens verbunden.

Das operative Prinzip zählt – wie beispielsweise das [[Spiralprinzip]] oder das [[genetische Prinzip]] – zu den klassischen didaktischen Prinzipien in der Mathematikdidaktik (Vgl. Reiss, Hammer). Dieses Prinzip folgt aus den wesentlichen Aspekten der Theorien von Jean Piaget und Hans Aebli. Es betont insbesondere das Lernen durch eigenes Handeln und dessen Verinnerlichung. Die Systematik einer mathematischen Aufgabenstellung wird in den Vordergrund gestellt, um Bezüge zwischen mathematischen Sachverhalten herzustellen. Damit ist eine spezifische Form des systematischen und produktiven Übens verbunden.

== Theoretische Herleitung ==

== Theoretische Herleitung ==

=== Primarstufe ===  

=== Primarstufe ===  

 

# Stecke Würfel zu einer Dreier- und Fünferstange zusammen. Stecke die Stangen anschließend ebenso zusammen. Wie viele Würfel zählst du?

1) Stecke Würfel zu einer Dreier- und Fünferstange zusammen. Stecke die Stangen anschließend ebenso zusammen. Wie viele Würfel zählst du?

# Fertige eine Zeichnung an, auf der du die Stangen als Streifen aus Quadraten darstellst.  

 

# Ein Zeichen für das Zusammenfügen von Mengen ist das ,,+“. Notiere das Ergebnis der Aufgabe: 3 + 5 = ?  

2) Fertige eine Zeichnung an, auf der du die Stangen als Streifen aus Quadraten darstellst.  

 

3) Ein Zeichen für das Zusammenfügen von Mengen ist das ,,+“. Notiere das Ergebnis der Aufgabe: 3 + 5 = ?  

Diese Aufgabe ermöglicht es Grundschulkindern, sich zunächst haptisch mit den Steckwürfeln auseinanderzusetzen und das Objekt, die Addition, kennenzulernen. Anschließend agieren die Schülerinnen und Schüler auf der figuralen und symbolischen Stufe, indem sie die Gegenstände bildlich und mit Ziffern darstellen. Dabei erhalten die Darstellungen in der figuralen und der symbolischen Form ihre Bedeutung durch Rückbezug auf die enaktive Form. Im Sinne des operativen Prinzips ist für das Verstehen des Objekts Addition ebenfalls wesentlich, dass untersucht wird, wie sich Veränderungen des Objekts, also konkret Veränderungen der Summanden, auswirken So wird beim operativen Durcharbeiten z.B. die Konstanz der Summe bei wechselsinniger Veränderung der Summanden erarbeite. Durch diese Art der Modifikation kann die Denkentwicklung und der Verinnerlichungsprozess der Lernenden weiter angeregt werden.

Diese Aufgabe ermöglicht es Grundschulkindern, sich zunächst haptisch mit den Steckwürfeln auseinanderzusetzen und das Objekt, die Addition, kennenzulernen. Anschließend agieren die Schülerinnen und Schüler auf der figuralen und symbolischen Stufe, indem sie die Gegenstände bildlich und mit Ziffern darstellen. Dabei erhalten die Darstellungen in der figuralen und der symbolischen Form ihre Bedeutung durch Rückbezug auf die enaktive Form. Im Sinne des operativen Prinzips ist für das Verstehen des Objekts Addition ebenfalls wesentlich, dass untersucht wird, wie sich Veränderungen des Objekts, also konkret Veränderungen der Summanden, auswirken So wird beim operativen Durcharbeiten z.B. die Konstanz der Summe bei wechselsinniger Veränderung der Summanden erarbeite. Durch diese Art der Modifikation kann die Denkentwicklung und der Verinnerlichungsprozess der Lernenden weiter angeregt werden.

=== Sekundarstufe I ===   

=== Sekundarstufe I ===   

1) Wie kann man eine Pizza gerecht auf sechs Freunde aufteilen?  

# Wie kann man eine Pizza gerecht auf sechs Freunde aufteilen?  

 

# Teile die Pizza in sechs gleich große Stücke, indem du eine Skizze anfertigst.  

2) Teile die Pizza in sechs gleich große Stücke, indem du eine Skizze anfertigst.  

# Wie viele Pizzen benötigst du und deine fünf Freunde, wenn jeder eine halbe Pizza essen möchte?

 

# Als Nachtisch erhaltet ihr zwei Äpfel. Teilt diese mit einem Messer gerecht unter euch auf.  

3) Wie viele Pizzen benötigst du und deine fünf Freunde, wenn jeder eine halbe Pizza essen möchte?

## Wie ändert sich die Größe der Apfelstücke, wenn zwei deiner Freunde auf den Nachtisch verzichten – welchen Anteil erhält dann jeder von euch?

 

## Einer der beiden Äpfel ist aus unerklärlich Gründen verschwunden. Wie viele von euch sechs Freunden müssten auf den Nachtisch verzichten, damit die verteilten Apfelstücke immer noch so groß sind wie in der Ausgangssituation?

4) Als Nachtisch erhaltet ihr zwei Äpfel. Teilt diese mit einem Messer gerecht unter euch auf.  

 

a) Wie ändert sich die Größe der Apfelstücke, wenn zwei deiner Freunde auf den Nachtisch verzichten – welchen Anteil erhält dann jeder von euch?

 

b) Einer der beiden Äpfel ist aus unerklärlich Gründen verschwunden. Wie viele von euch sechs Freunden müssten auf den Nachtisch verzichten, damit die verteilten Apfelstücke immer noch so groß sind wie in der Ausgangssituation?

Zu Aufgabe 1: Mit dieser Aufgabe wird der Zugang zu Bruchzahlen handlungsorientiert ermöglicht. Die Schülerinnen und Schüler übertragen ihre Alltagserfahrung und rufen mental das Bild einer Pizza hervor. Im nächsten Schritt führen sie das Aufteilen einer Pizza, als verinnerlichte Handlung durch. Sie handeln an einem konkreten Objekt.

Zu Aufgabe 1: Mit dieser Aufgabe wird der Zugang zu Bruchzahlen handlungsorientiert ermöglicht. Die Schülerinnen und Schüler übertragen ihre Alltagserfahrung und rufen mental das Bild einer Pizza hervor. Im nächsten Schritt führen sie das Aufteilen einer Pizza, als verinnerlichte Handlung durch. Sie handeln an einem konkreten Objekt.