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Ersteintrag der Dissertation
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{{diss
| name= Gregor Milicic
| titel = {{PAGENAME}}
| hochschule= Paris-Lodron-Universität Salzburg
| jahr = 2019
| typ = Dissertation
| betreut = Karl Josef Fuchs
| begutachtet = Andreas Schröder, Ján Gunčaga
| download =
| sprache =
| note =
| pruefungam =
| schulart =
| stufe =
| matheduc =
}}

== Zusammenfassung ==
In der vorliegenden Arbeit werden die erzielten Ergebnisse und Resultate
zweier Forschungsthemen der numerischen Mathematik dargestellt, den
Lösungsverfahren für Variationsungleichungen und für gekoppelte
Reaktions-Diffusionsgleichungssysteme. Den thematischen Rahmen dieser
Dissertation bildet die Kernfrage, ob und bis zu welcher inhaltlichen
Tiefe diese Forschungsthemen auch mit SchülerInnen bearbeitet werden
können. Die Arbeit ist damit an der Schnittstelle zwischen der
fachwissenschaftlichen und der didaktischen Forschung einzuordnen.

Für die Variationsungleichungen wird eine Basistransformation
vorgestellt, die die Nebenbedingungen allgemeinerer Art in einfachere
Boxconstraints überführen kann. Es wird gezeigt, wie bei Varianten der
Projective-Successive-Overrelaxation-Verfahren (PSOR) und bei einem
Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus die Variablentransformation ohne
explizite Aufstellung der Transformationsmatrix in die Verfahren
eingebettet werden kann. Für das PSOR-Verfahren wird zudem ein
Beschleunigungsansatz vorgestellt und die Konvergenz des beschleunigten
Verfahrens bewiesen. Die numerischen Experimente zeigen, dass das
beschleunigte PSOR-Verfahren für diese Art von Problemstellungen
durchaus konkurrenzfähig zum etablierten
Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus ist.

Reaktions-Diffusionsgleichungssysteme werden in der Biophysik häufig zur
Modellierung von Signalkaskaden genutzt. Die einzelnen Gleichungen des
Systems können, in Abhängigkeit von der modellierten Reaktion,
untereinander gekoppelt und nichtlinear sein. Die räumliche
Diskretisierung überführt die partiellen in gewöhnliche
Differentialgleichungen. Für eine Klasse von impliziten Verfahren wird
ein Fixpunktansatz zur Lösung des jeweiligen Zeitschrittes vorgestellt
und dessen Konvergenz bewiesen. Während häufig genutzte IMEX-Verfahren
bei steifen Reaktionstermen sehr kleine Zeitschrittweiten erfordern,
können mit der Fixpunktabbildung bei der Nutzung einer Relaxation auch
große Zeitschritte gewählt werden. In anschließenden biophysikalischen
Experimenten wird der Einfluss der Zellgröße und der Form der Zelle auf
die Signalkaskade untersucht.

Damit die SchülerInnen die Forschungsthemen bearbeiten können, benötigen
sie Kenntnisse über die Inhalte und müssen über die notwendigen
Kompetenzen für das Experimentieren verfügen. Als einführende und
vorbereitende Themen wurden dafür in dieser Dissertation die iterativen
Lösungsverfahren für
lineare Gleichungssysteme und Zeitschrittverfahren für gewöhnliche
Differentialgleichungen identifiziert und mit der jeweiligen Theorie
und prototypischen Aufgabenstellungen vorgestellt.

Die Numerik als mathematische Disziplin stand bisher kaum im Fokus der
fachdidaktischen Forschung. Ein weiterer Aspekt dieser Dissertation ist
daher
auch die Verortung der Numerik anhand von anerkannten Konzepten der
Fachdidaktik, um daraus Rückschlüsse auf die Wissensvermittlung zu
gewinnen.
Methodisch-didaktische Überlegungen zur Vermittlung des Lehrstoffes
werden ebenfalls
gegeben. Es wird dargestellt, wie sowohl grundlegende Themen der Numerik
als auch die zwei Forschungsthemen der numerischen Mathematik
schrittweise eingeführt und vermittelt werden können.

== Englische Zusammenfassung ==
In this work, the results of two research projects in numerical
mathematics are presented, solution algorithms for variational
inequalities and for coupled systems of reaction-diffusion equations.
The underlying question of this dissertation is whether and to which
degree students can participate in the research activities. This work is
therefore situated both in mathematics and in didactics of mathematics.

For a class of linear variational inequalities a simple basis
transformation is introduced, which converts the original linear
inequality constraints into simple box constraints. It is shown how that
basis transformation can be used within a projected SOR solver and
within the primal-dual active set method even without computing the
transformation explicitly. For the projected SOR solver an acceleration
technique is presented and the convergence of this accelerated method is
proven. Numerical experiments show that by using the acceleration
technique the projected SOR solver becomes comparable to the primal-dual
active set method.

Reaction-diffusion systems are often used to model signaling cascades in
biophysics. Depending on the model, the equations can be coupled and
dependent on each other and therefore difficult to handle.
Discretization in space transforms the system of partial in ordinary
differential equations. For a class of implicit methods a fixpoint
scheme is presented, which can be used to solve the nonlinear equation
in each time step. The convergence of this fixpoint scheme is proven. If
not only the diffusion, but also the reaction term is stiff, popular
IMEX methods require small time steps, whereas if the fixpoint scheme is
used with a successive overrelaxation, bigger time steps can be chosen.
As an application, the influence of the cell size and cell form on
signaling cascade is analysed in biophysical simulations using
reaction-diffusion systems.

To prepare the students for the research topics, iterative methods for
linear systems and time stepping methods for ordinary differential
equations were identified as introductory topics. The theory and
prototypical tasks for both subjects are presented.

Another focus of this work is the didactics of numerical mathematics,
which is not widely regarded in mathematical education. Using and
combining the concepts of mathematical modelling and experimenting, a
concept for didactics of numerical mathematics is presented. This
concept can be used to teach students the introductory as well as the
presented research topics.
== Auszeichnungen ==
<!-- Hier bitte eventuell erhaltene Auszeichnungen/Preise als Liste aufführen.
Beispiele:
* Erster Preis
* Zweiter Preis -->

== Kontext ==
<!-- Hier ist Raum, um die Arbeit in den Forschungskontext einzubetten -- verwandte
Dissertationen sollten genannt werden, Arbeitsgruppen oder Konferenzen,
die sich mit dem Thema beschäftigen, etc. -->
=== Literatur ===
<!-- ggf. Literaturangaben -->
<!-- Bitte wie folgt angeben: -->
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=== Links ===
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