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Version vom 11. Dezember 2012, 10:17 Uhr
, 10:17, 11. Dez. 2012Die Seite wurde neu angelegt: „Gleichungen 1. Definition Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wah…“
Gleichungen
1. Definition
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss.
Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen. z.B. ist die Größe 3 gleich der Größe 2+1.
Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung.
Beispiele: 3 a b = a − b
2 x2 3 x = 16
Aussage:
Gleichungen, in denen keine Platzhalter auftreten, sind (wahre oder
falsche) Aussagen. Somit ist eine Aussage eine Formulierung, die wahr oder falsch ist.
z.B. 2⋅16 = 32 ist eine wahre Aussage
2 16 = 32 ist eine falsche Aussage
Gleichung gehört nach den Zahlen zu den ersten mathematischen Errungenschaften der Menschheit. Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa zurück, etwa 1180 bis etwa 1250.
Leonardo Fibonacci von Pisa war Rechenmeister in
Pisa und gilt als der bedeutendste Mathematiker
des Mittelalters. Bekannt sind heute vor allem die
nach ihm benannten Fibonacci-Zahlen.
2. Die Klassizierung der Gleichungen
Da zu jedem Typ von Gleichung ein spezieller Lösungsweg gehört, ist es wichtig, dass man
feststellen kann mit welchem Typ von Gleichung man es gerade zu tun hat. Hierfür werden einige gängige Typen von Gleichungen aufgelistet:
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0
1. lineare Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf.
Allgemeine Form: ax+b=0
z.B. x + 1 = 0
2. quadratische Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf.
Allgemeine Form: ax²+bx+c=0
z.B. x²+x -2 = 0
3. kubische Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 3. Potenz auf
Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0
z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0
3. Lösungsstrategien
3.1 Äquivalente Umformungen einer Gleichung
Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt.
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden. Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf jede Waagschale die selbe Gewichtsmenge dazulegt oder von ihr wegnimmt oder auf beiden Seiten die Gewichtsmenge verdreifacht oder halbiert. Der Gleichgewichtszustand der Waage ändert sich nicht, wenn man auf beiden Waagschalen mit der gleichen Gewichtsmenge dasselbe tut.
3.2 Grafische Lösungen [am Beispiel einer linearen Funktion]
Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0
3.3 Gleichungssysteme
3.3.1 Gleichsetzungsverfahren
3.3.2 Einsetzungsverfahren
3.3.3 Additionsverfahren
4. Literatur
1. Definition
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss.
Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen. z.B. ist die Größe 3 gleich der Größe 2+1.
Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung.
Beispiele: 3 a b = a − b
2 x2 3 x = 16
Aussage:
Gleichungen, in denen keine Platzhalter auftreten, sind (wahre oder
falsche) Aussagen. Somit ist eine Aussage eine Formulierung, die wahr oder falsch ist.
z.B. 2⋅16 = 32 ist eine wahre Aussage
2 16 = 32 ist eine falsche Aussage
Gleichung gehört nach den Zahlen zu den ersten mathematischen Errungenschaften der Menschheit. Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa zurück, etwa 1180 bis etwa 1250.
Leonardo Fibonacci von Pisa war Rechenmeister in
Pisa und gilt als der bedeutendste Mathematiker
des Mittelalters. Bekannt sind heute vor allem die
nach ihm benannten Fibonacci-Zahlen.
2. Die Klassizierung der Gleichungen
Da zu jedem Typ von Gleichung ein spezieller Lösungsweg gehört, ist es wichtig, dass man
feststellen kann mit welchem Typ von Gleichung man es gerade zu tun hat. Hierfür werden einige gängige Typen von Gleichungen aufgelistet:
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0
1. lineare Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf.
Allgemeine Form: ax+b=0
z.B. x + 1 = 0
2. quadratische Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf.
Allgemeine Form: ax²+bx+c=0
z.B. x²+x -2 = 0
3. kubische Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 3. Potenz auf
Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0
z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0
3. Lösungsstrategien
3.1 Äquivalente Umformungen einer Gleichung
Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt.
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden. Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf jede Waagschale die selbe Gewichtsmenge dazulegt oder von ihr wegnimmt oder auf beiden Seiten die Gewichtsmenge verdreifacht oder halbiert. Der Gleichgewichtszustand der Waage ändert sich nicht, wenn man auf beiden Waagschalen mit der gleichen Gewichtsmenge dasselbe tut.
3.2 Grafische Lösungen [am Beispiel einer linearen Funktion]
Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0
3.3 Gleichungssysteme
3.3.1 Gleichsetzungsverfahren
3.3.2 Einsetzungsverfahren
3.3.3 Additionsverfahren
4. Literatur