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Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang 1/9 = 0,11111... = 0,11111... folgt:

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang 1/9 = 0,11111... = 0,11111... folgt:

1 = 1/9 *9 = 0,99999... = 0,99999...

<br /> 1 = 1/9 *9 = 0,99999... = 0,99999...

Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei

Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei

I    x = 0,99999...    (= 0,9 Periode 9)

<br /> I    x = 0,99999...    (= 0,9 Periode 9)

II 10x = 9,99999...

<br /> II 10x = 9,99999...

II-I liefert dann 9x = 9,00000..., also x = 9/9 = 1.

<br /> II-I liefert dann 9x = 9,00000..., also x = 9/9 = 1.

Mit I folgt dann (0,9 Periode 9) = 1.

<br /> Mit I folgt dann (0,9 Periode 9) = 1.

'''Anschauliche Darstellung'''<ref> Studie von Bauer </ref> (Bild einfügen!)

'''Anschauliche Darstellung'''<ref> Studie von Bauer </ref> (Bild einfügen!)

Man nehme an, dass (0,9 Periode 9) < 1 ist. Dann gibt es ein ε, das den Abstand von (0,9 Periode 9) zu 1 beschreibt.  

Man nehme an, dass (0,9 Periode 9) < 1 ist. Dann gibt es ein ε, das den Abstand von (0,9 Periode 9) zu 1 beschreibt.  

Zur Veranschaulichung sei nun ε = 0,000000001. Dann ist ε = 1 - (0,9 Periode 9) oder anders ausgedrückt ε + (0,9 Periode 9) = 1.

Zur Veranschaulichung sei nun ε = 0,000000001. Dann ist ε = 1 - (0,9 Periode 9) oder anders ausgedrückt ε + (0,9 Periode 9) = 1.

Andererseits gilt aber  

<br /> Andererseits gilt aber  

I                ε = 0,000.000.001

<br /> I                ε = 0,000.000.001

II (0,9 Periode 9) = 0,999.999.999.999...

<br /> II (0,9 Periode 9) = 0,999.999.999.999...

 

<br /> Mit I+II folgt ε + (0,9 Periode 9) = 1,000.000.000.999 '''>''' 1, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

Mit I+II folgt ε + (0,9 Periode 9) = 1,000.000.000.999 '''>''' 1, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit ε = 10^(-k) mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da (0,9 Periode 9) > 1 ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass (0.9 Periode 9) = 1 ist. Es gibt also kein Abstand ε zwischen 0,9 Periode 9) und 1, egal wie klein er gewählt wird.

Führt man nun diesen Beweis mit ε = 10^(-k) mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da (0,9 Periode 9) > 1 ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass (0.9 Periode 9) = 1 ist. Es gibt also kein Abstand ε zwischen 0,9 Periode 9) und 1, egal wie klein er gewählt wird.

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref> Analysis verständlich unterrichten </ref>

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref> Analysis verständlich unterrichten </ref>

Es ist möglich (0,9 Periode 9) als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

Es ist möglich (0,9 Periode 9) als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

(0,9 Periode 9) = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9*1+ 0,9*(1/10) + 0,9*(1/100) + ... = Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n.

<br /> (0,9 Periode 9) = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9*1+ 0,9*(1/10) + 0,9*(1/100) + ... = Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen Summe von n=0 bis ∞ mit a*q^n = a/(1-q) mit 0 < q < 1. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1: Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n = 0,9 / (1 - 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen Summe von n=0 bis ∞ mit a*q^n = a/(1-q) mit 0 < q < 1. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1: Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n = 0,9 / (1 - 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1.

" Es fehlt immer noch ein Stückchen"

" Es fehlt immer noch ein Stückchen"

"(0,9 Periode 9) ist ganz minimal kleiner als 1"

<br /> "(0,9 Periode 9) ist ganz minimal kleiner als 1"

"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"

<br />"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"

" (0,9 Periode 9) ergibt nur gerundet 1"

<br />" (0,9 Periode 9) ergibt nur gerundet 1"

Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen (0,9 Periode 9) und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen (0,9 Periode 9) als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.

<br />Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen (0,9 Periode 9) und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen (0,9 Periode 9) als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.

'''Schülerargumente gegen (0,9 Periode 9) < 1'''<ref> Studie von Ludwig Bauer </ref>

'''Schülerargumente gegen (0,9 Periode 9) < 1'''<ref> Studie von Ludwig Bauer </ref>

"Das haben wir gelernt"

<br />"Das haben wir gelernt"

"Weil es so ist"

<br />"Weil es so ist"

"(0,9 Periode 9) = 9/9 = 1"

<br />"(0,9 Periode 9) = 9/9 = 1"

"Da die (0,9 Periode 9) ims Unendliche geht und sich der 1 annähert, kann man sagen, dass (0,9 Periode 9) = 1 ist."

<br />"Da die (0,9 Periode 9) ims Unendliche geht und sich der 1 annähert, kann man sagen, dass (0,9 Periode 9) = 1 ist."

Insgesamt wirken die Argumentationen hier unsicherer. Sätze, die ähnlich der ersten beiden treten häufiger auf. Dennoch argumentieren einige SuS auch mit den oben erklärten Zugängen und im weitesten Sinne wird eine Annäherung an die Grenzwerte gewagt.

<br /> Insgesamt wirken die Argumentationen hier unsicherer. Sätze, die ähnlich der ersten beiden treten häufiger auf. Dennoch argumentieren einige SuS auch mit den oben erklärten Zugängen und im weitesten Sinne wird eine Annäherung an die Grenzwerte gewagt.

'''Zusammenfassung'''

'''Zusammenfassung'''