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Der Dezimalbruch 0,99999... mit der Eigenschaft 0,99999...=1 verursacht häufig Konflikte in den Schülervorstellungen, findet aber als Zahl keine explizite Erwähnung in den Lehrplänen respektive Rahmenrichtlinien der Schulen.

Der Dezimalbruch (0,9 Periode 9) mit der Eigenschaft (0,9 Periode 9) = 1 verursacht häufig Konflikte in den Schülervorstellungen, findet aber als Zahl keine explizite Erwähnung in den Lehrplänen respektive Rahmenrichtlinien der Schulen.

== Beweise für 0,99999...=1 ==

== Beweise für (0,9 Periode 9) = 1 ==

'''Rechnerische Verfahrenen''' <ref> Bauer, Ludwig: "Mathematik, Intuition, Formalismen: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)", Springer Verlag, Onlinepublikation vom 05.01.2011 </ref>

'''Rechnerische Verfahrenen''' <ref> Bauer, Ludwig: "Mathematik, Intuition, Formalismen: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)", Springer Verlag, Onlinepublikation vom 05.01.2011 </ref>

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang 1/9 = 0,11111... = 0,11111... folgt:

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl (0,9 Periode 9) ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang 1/9 = 0,11111... = (0,1 Periode 1) folgt:

<br /> 1 = 1/9 *9 = 0,99999... = 0,99999...

<br /> 1 = 1/9 * 9 = 0,99999... = (0,9 Periode 9)

Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei

Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei

'''Anschauliche Darstellung'''<ref> Bauer, Ludwig: "Mathematik, Intuition, Formalismen: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)", Springer Verlag, Onlinepublikation vom 05.01.2011 </ref> <!--(Bild einfügen!)-->

'''Anschauliche Darstellung'''<ref> Bauer, Ludwig: "Mathematik, Intuition, Formalismen: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)", Springer Verlag, Onlinepublikation vom 05.01.2011 </ref> <!--(Bild einfügen!)-->

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99: 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo (0,9 Periode 9) = 0,99999... liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" (0,9 Periode 9) = 1.

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo (0,9 Periode 9) = 0,99999... liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" (0,9 Periode 9) = 1.

'''Widerspruchsbeweis''' <ref> Bauer, Ludwig: "Mathematik, Intuition, Formalismen: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)", Springer Verlag, Onlinepublikation vom 05.01.2011 </ref>

'''Widerspruchsbeweis''' <ref> Bauer, Ludwig: "Mathematik, Intuition, Formalismen: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)", Springer Verlag, Onlinepublikation vom 05.01.2011 </ref>

Man nehme an, dass (0,9 Periode 9) < 1 ist. Dann gibt es ein ε, das den Abstand von (0,9 Periode 9) zu 1 beschreibt.  

Man nehme an, dass (0,9 Periode 9) < 1 ist. Dann gibt es ein ε, das den Abstand von (0,9 Periode 9) zu 1 beschreibt.  

Zur Veranschaulichung sei nun ε = 0,000000001. Dann ist ε = 1 - (0,9 Periode 9) oder anders ausgedrückt ε + (0,9 Periode 9) = 1.

Zur Veranschaulichung sei nun ε = 0,000.000.001. Dann ist ε = 1 - (0,9 Periode 9) oder anders ausgedrückt ε + (0,9 Periode 9) = 1.

<br /> Andererseits gilt aber  

<br /> Andererseits gilt aber  

<br /> I                ε = 0,000.000.001

<br /> I                ε = 0,000.000.001

<br /> II (0,9 Periode 9) = 0,999.999.999.999...

<br /> II (0,9 Periode 9) = 0,999.999.999.999...

<br /> Mit I+II folgt ε + (0,9 Periode 9) = 1,000.000.000.999 '''>''' 1, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Mit I+II folgt ε + (0,9 Periode 9) = 1,000.000.000.999 '''>''' 1, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit ε = 10^(-k) mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da (0,9 Periode 9) > 1 ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass (0.9 Periode 9) = 1 ist. Es gibt also kein Abstand ε zwischen 0,9 Periode 9) und 1, egal wie klein er gewählt wird.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit ε = 10^-k mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da (0,9 Periode 9) > 1 ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass (0.9 Periode 9) = 1 ist. Es gibt also kein Abstand ε zwischen 0,9 Periode 9) und 1, egal wie klein er gewählt wird.

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: "Analysis verständlich unterrichten" Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: "Analysis verständlich unterrichten" Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>

<br />"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"

<br />"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"

<br />" (0,9 Periode 9) ergibt nur gerundet 1"

<br />" (0,9 Periode 9) ergibt nur gerundet 1"

<br />Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen (0,9 Periode 9) und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen (0,9 Periode 9) als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.

<br />Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen (0,9 Periode 9) und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen (0,9 Periode 9) als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.