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Weg-Zeit-Diagramme (Quelltext anzeigen)
Version vom 21. Januar 2013, 17:38 Uhr
, 17:38, 21. Jan. 2013keine Bearbeitungszusammenfassung
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+Der Anstieg zu einem Zeitpunkt ''t'' ist die Geschwindigkeit.+
+Ein Auto fahre mit konstanter Geschwindigkeit. Es legt in 2 Sekunden 10 Meter, in 4 Sekunden 20 Meter, usw. zurück. Folgendes Weg-Zeit-Diagramm entsteht:+Die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt <math> t_0=4s </math> entspricht der ersten Ableitung nach der Zeit an der Stelle <math> t_0=4s </math>:
−Und für die Stelle <math>t_0=4s</math>:+<math>s'(t_0=4s)=v(t_0=4s)=</math>
Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt.
Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt.
−Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abzissen-, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen.
Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abzissen-, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen.
+Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math> lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math> bzw. der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>.
−==Anwendung im Mathematikunterricht==
−Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg, usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden.
==Beispielaufgabe==
==Beispielaufgabe==
+Ein Auto fahre mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B. Dabei hat es folgende Wege nach folgenden Zeiten zurückgelegt:
+{| class="wikitable" border="1"
+|-
+! Weg in m
+! Zeit in s
+|-
+| 5
+| 1
+|-
+| 10
+| 2
+|-
+| 15
+| 3
+|-
+| 20
+| 4
+|}
+
+
+
+Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm, so entsteht folgender Graph:
+
+[[Datei:Auto.jpg]]
+
+<math> s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden:
+
+<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20m-5m}{4s-1s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>.
+
+Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden:
+<math>s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math>
+
+Die Momentangeschwindigkeit z.B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5s</math>:
+
+<math>v(t)s'(t)=5\frac{m}{s}</math>
+
+Man erkennt, dass das Auto, egal zu welchem Zeitpunkt tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Es handelt sich um eine geradlinig gleichförmige Bewegung.
+
+<math>v(t=2,5s)=s'(t=2,5s)=5 \frac{m}{s}</math>
+
+
+Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer geradlinig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel:
+Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen:
−{| class="wikitable" border="1"
+|-
+! Weg in m
+! Zeit in s
+|-
+| 1,5
+| 1
+|-
+| 6
+| 2
+|-
+| 13,5
+| 3
+|-
+| 24
+| 4
+|-
+| 37,5
+| 5
+|-
+| 54
+| 6
+|}
+Hier erhält man für das <math>s(t)</math>-Diagramm folgenden Graph:
−[[Datei:Beispiel.jpg]]
+[[Datei:Auto2.jpg]]
+Der entstandene Funktionsgraph ist eine Parabel 2. Grades.
+Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln.
−<math> s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]].
+Die Funktion <math>s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden diese Terme aus der Ausgangsgleichung.
−<math> s(t)=v \cdot t</math>
+Es interessiert die (Momentan-) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5s</math>.
−<math>s'(t)=v</math>
+<math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math>
−<math>v(t=3,5s)=s'(t=3,5s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5s=10,5 \frac{m}{s}
−