Änderungen

'''Rechnerische Verfahren''' <ref name="bauer"> Bauer, Ludwig: Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>. In: Journal für Mathematikunterricht, Heft 1, 2011, 79-102 </ref>

'''Rechnerische Verfahren''' <ref name="bauer"> Bauer, Ludwig: Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>. In: Journal für Mathematikunterricht, Heft 1, 2011, 79-102 </ref>

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang <math>  \textstyle \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,1\overline{1} </math> folgt:

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren. So kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang <math>  \textstyle \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,1\overline{1} </math> folgt:

<br /> <math> 1 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 0,99999... = 0,9\overline{9}</math>

<br /> <math> 1 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 0,99999... = 0,9\overline{9}</math>

<!--[[Datei:Darstellung0.9999.png]]-->

<!--[[Datei:Darstellung0.9999.png]]-->

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math>  \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>.

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1, so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math>  \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>.

'''Widerspruchsbeweis''' <ref name="bauer" />

'''Widerspruchsbeweis''' <ref name="bauer" />

<br /> II <math>0,9\overline{9} = 0,999.999.999.999...</math>

<br /> II <math>0,9\overline{9} = 0,999.999.999.999...</math>

<br /> Mit I+II folgt <math> \epsilon + 0,9\overline{9} = 1,000.000.000.999 >  1</math>, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Mit I+II folgt <math> \epsilon + 0,9\overline{9} = 1,000.000.000.999 >  1</math>, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da <math>0,9\overline{9} > 1</math>ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ist. Es gibt also kein Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math>und 1, egal wie klein er gewählt wird.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit erweist sich die als Annahme falsch.  Da <math>0,9\overline{9} > 1</math>ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ist. Es gibt also keinen Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math>und 1, egal wie klein <math> \epsilon </math> gewählt wird.

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref name="Vogel"> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: "Analysis verständlich unterrichten" Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref name="Vogel"> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: "Analysis verständlich unterrichten" Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>