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Kurvendiskussion mit CAS (Quelltext anzeigen)
Version vom 21. Januar 2013, 19:59 Uhr
, 19:59, 21. Jan. 2013keine Bearbeitungszusammenfassung
Wir entnehmen die Maße a=7,1 cm und h=19,7 cm. Damit ergibt sich ein Volumen von 993 <math>cm^3 </math>.
Wir entnehmen die Maße <math> a=7,1 cm </math> und <math> h=19,7 cm </math>. Damit ergibt sich ein Volumen von <math> 993 cm^3 </math>.
Erkennt man a und h als variierbare Größen, kommt man auf auf die Funktion für den Materialverbrauch: <math> M(a,h)=(h+2\cdot \frac{a}{2}+2\cdot 0,6)\cdot(4a+0,6)
Erkennt man <math> a </math> und <math> h </math> als variierbare Größen, kommt man auf auf die Funktion für den Materialverbrauch: <math> M(a,h)=(h+2\cdot \frac{a}{2}+2\cdot 0,6)\cdot(4a+0,6)
</math>
</math>
Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat. Es fehlt noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung <math>{a^2}\cdot{h}=1000 Liter </math>
Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat. Es fehlt noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung <math>{a^2}\cdot{h}=1000 Liter </math>
Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert man h in M(a,h) und erhält <math> M(a)=4a^2+5,4a+0,72+\frac{4000}{a}+\frac{600}{a^2} mit a>0. </math>
Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert man <math> h </math> in <math> M(a,h) </math> und erhält <math> M(a)=4a^2+5,4a+0,72+\frac{4000}{a}+\frac{600}{a^2} </math> mit <math> a>0 </math>.
Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS.
Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS.
An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung
An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung <math>
M(a) qualitativ analytisch zu diskutieren.
M(a) </math> qualitativ analytisch zu diskutieren.
Man erkennt, dass für große und für kleine a M(a) groß wird, was bedeutet,
Man erkennt, dass für große und für kleine <math> a M(a) </math> groß wird, was bedeutet,
dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss.
dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss.
Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung durchführen und
Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung durchführen und
das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert die Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.
das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert die Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.
Hier sein explizit darauf hingewiesen, dass M(a) eine Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann.
Hier sei explizit darauf hingewiesen, dass <math> M(a) </math> eine Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann.
Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die hochkomplexen algebraischen Wurzelterme
Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die hochkomplexen algebraischen Wurzelterme
erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen.
erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen.
Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.
Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.
Das Ergebnis a=7,8 cm weicht stark vom realen Wert a= 7,1 cm ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.
Das Ergebnis <math> a=7,8 cm </math> weicht stark vom realen Wert <math> a= 7,1 cm </math> ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.
==Aufgabenbeispiel 2: Skihänge<ref> Die folgenden Informationen und Screenshots der Aufgabe sind aus: Abitur 2011, STARK Verlag, Zentralabitur LK Sachsen, Seite 90 ff.</ref>==
==Aufgabenbeispiel 2: Skihänge<ref> Die folgenden Informationen und Screenshots der Aufgabe sind aus: Abitur 2011, STARK Verlag, Zentralabitur LK Sachsen, Seite 90 ff.</ref>==
erstellte er die Höhenprofile der Skihänge. Folgende Tabelle kam dabei heraus: [[Datei:Tabelle.jpg]]
erstellte er die Höhenprofile der Skihänge. Folgende Tabelle kam dabei heraus: [[Datei:Tabelle.jpg]]
a) Bestimme durch Regression die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, die das Höhenprofil des Berges wiedergeben könnte.
a) Bestimmen Sie durch Regression die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, die das Höhenprofil des Berges wiedergeben könnte.
Zuerst lässt man sich die Wertepaare mit dem CAS darstellen.
Zuerst lässt man sich die Wertepaare mit dem CAS darstellen.
Darauf aufbauen sollte eine Regression erfolgen, bei der man erkennt, dass in diesem Falle eine Funktion dritten Grades genügt.
Man erhält folgende Funktion als Lösung: <math> f(x)=-2,381629\cdot10^{-5}\cdot{x^3}+0,005805\cdot{x^2}-0,06422\cdot{x}+39,987088 </math>
Man erhält folgende Funktion als Lösung: <math> f(x)=-2,381629\cdot10^{-5}\cdot{x^3}+0,005805\cdot{x^2}-0,06422\cdot{x}+39,987088 </math>
Beim Schwierigkeitsgrad von Skipisten unterscheidet man zwischen
Beim Schwierigkeitsgrad von Skipisten unterscheidet man zwischen:
blau: leicht, mit einer max. Neigung von 25%
* blau: leicht, mit einer max. Neigung von 25%
rot: mittelschwer, mit einer max. Neigung von 40%
* rot: mittelschwer, mit einer max. Neigung von 40%
schwarz: anspruchsvoll, mit einer größeren Neigung als 40%
* schwarz: anspruchsvoll, mit einer größeren Neigung als 40%
b)Ermitteln Sie die maximale Neigung der Skipiste und ordnen Sie sie der entsprechenden Farbe zu.
b) Ermitteln Sie die maximale Neigung der Skipiste und ordnen Sie diese der entsprechenden Farbe zu.
Der Tourismusverband überlegt, auch den rechten Hang für den Wintersport zu nutzen.
Der Tourismusverband überlegt, auch den rechten Hang für den Wintersport zu nutzen.
sollte es existieren. [[Datei:Darstellung3.jpg]]
sollte es existieren. [[Datei:Darstellung3.jpg]]
Der höchste Punkt besitzt also die Koordinaten P(156,753;80,8199)
Der höchste Punkt besitzt die Koordinaten <math> P(156,753; 80,8199) </math>.
Die maximale Neigung findet man an den Wendepunkten und verfährt wie eben, nur dass man fordert, dass die zweite Ableitung der Funktion Null wird, jedoch die dritte nicht. Man erhält eine Wendestelle <math> x_w=81,2435 </math> auf dem linken Hang.
Die maximale Neigung findet man an den Wendepunkten und verfährt wie eben, nur dass man fordert, dass die zweite Ableitung der Funktion Null wird, jedoch die dritte nicht. Man erhält eine Wendestelle <math> x_w=81,2435 </math> auf dem linken Hang.
Durch Einsetzen erkennt man, dass für den rechten Hang die Neigung an der Intervallgrenze <math> (x=240) </math> am größten ist.
Ergebnisse:
Ergebnisse:
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Analysis]]
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math>cm^3