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Ein Sportlehrer wollte sich auf ein Skilager gut vorbereiten. Zur Einteilung der Schülergruppen nach ihren Leistungen

Ein Sportlehrer wollte sich auf ein Skilager gut vorbereiten. Zur Einteilung der Schülergruppen nach ihren Leistungen

erstellte er die Höhenprofile der Skihänge. Folgende Tabelle kam dabei heraus: [[Datei:Tabelle.jpg|thumb|Werte der Höhenprofile]]

erstellte er die Höhenprofile der Skihänge. Folgende Tabelle kam dabei heraus:

 

 

[[Datei:Tabelle.jpg]]

 

a) Bestimmen Sie durch Regression die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, die das Höhenprofil des Berges wiedergeben könnte.

a) Bestimmen Sie durch Regression die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, die das Höhenprofil des Berges wiedergeben könnte.

Zuerst lässt man sich die Wertepaare mit dem CAS darstellen.  

Zuerst lässt man sich die Wertepaare mit dem CAS darstellen, um sich den bewusst zu werden, welcher funktionale Zusammenhang diese Datenpaare beschreiben könnte.

 

[[Datei:Darstellung1.jpg]]

[[Datei:Darstellung1.jpg]]

Darauf aufbauen sollte eine Regression erfolgen, bei der man erkennt, dass in diesem Falle eine Funktion dritten Grades genügt.  

Darauf aufbauend sollte eine Regression mit dem CAS-Rechner erfolgen, bei der man erkennt, dass in diesem Falle eine Funktion dritten Grades genügt.

Die Parameter der erhaltenen kubischen Funktion sind in der nächsten Abbildung dargestellt.  

Man erhält folgende Funktion als Lösung: <math> f(x)=-2,381629\cdot10^{-5}\cdot{x^3}+0,005805\cdot{x^2}-0,06422\cdot{x}+39,987088 </math>

Man erhält folglich die Funktion

<math> f(x)=-2,381629\cdot10^{-5}\cdot{x^3}+0,005805\cdot{x^2}-0,06422\cdot{x}+39,987088 </math>

* rot: mittelschwer, mit einer max. Neigung von 40%

* rot: mittelschwer, mit einer max. Neigung von 40%

* schwarz: anspruchsvoll, mit einer größeren Neigung als 40%

* schwarz: anspruchsvoll, mit einer größeren Neigung als 40%

b) Ermitteln Sie die maximale Neigung der Skipiste und ordnen Sie diese der entsprechenden Farbe zu.

b) Ermitteln Sie die maximale Neigung der Skipiste und ordnen Sie diese der entsprechenden Farbe zu.

Begründen Sie, weshalb dieses Vorhaben verworfen werden sollte.

Begründen Sie, weshalb dieses Vorhaben verworfen werden sollte.

Hier nutzt man die Solve- Funktion des CAS, mit der man sogar direkt erzwingen kann, dass auch ein Maximum ausgebenen wird,

Hier nutzt man die Solve- Funktion des CAS, mit der man sogar direkt erzwingen kann, dass auch ein Maximum ausgebenen wird,

sollte es existieren.  

sollte es existieren. Die entsprechende Eingabe in einen CAS-Rechner wird in der folgenden Abbildung illustriert.  

[[Datei:Darstellung3.jpg]]

[[Datei:Darstellung3.jpg]]

Der höchste Punkt besitzt die Koordinaten <math> P(156,753; 80,8199) </math>.

Der höchste Punkt besitzt die Koordinaten <math> P(156,753; 80,8199) </math>.

Die maximale Neigung findet man an den Wendepunkten und verfährt wie eben, nur dass man fordert, dass die zweite Ableitung der Funktion Null wird, jedoch die dritte nicht. Man erhält eine Wendestelle <math> x_w=81,2435 </math> auf dem linken Hang.

Die maximale Neigung findet man an den Wendepunkten und man verfährt wie eben, nur dass man fordert, dass die zweite Ableitung der Funktion Null wird, jedoch die dritte nicht. Man erhält eine Wendestelle <math> x_w=81,2435 </math> auf dem linken Hang.

Durch Einsetzen erkennt man, dass für den rechten Hang die Neigung an der Intervallgrenze <math> (x=240) </math> am größten ist.

Durch Einsetzen erkennt man, dass für den rechten Hang die Neigung an der Intervallgrenze <math> (x=240) </math> am größten ist.

Ergebnisse:  

Ergebnisse:  

linker Skihang: hat maximale Neigung bei <math> x_w=81,2435 </math>, <math> m_l=0,407379 </math>

 

 

linker Skihang: maximale Neigung bei <math> x_w=81,2435 </math>, <math> m_l=0,407379 </math>

Mit ca. 40% Neigung könnte man diese Piste mit schwarz oder rot markieren, da dies der direkte Grenzfall ist.  

Mit ca. 40% Neigung könnte man diese Piste mit schwarz oder rot markieren, da dies der direkte Grenzfall ist.  

rechter Skihang:   <math> x=240, m_r=-1,39339 </math>

 

rechter Skihang: <math> x=240\ m_r=-1,39339 </math>

Mit einer maximalen Neigung von 139% ist dieser Hang zum Skifahren viel zu gefährlich. Er sollte nicht für den Tourismus erschlossen werden.

Mit einer maximalen Neigung von 139% ist dieser Hang zum Skifahren viel zu gefährlich. Er sollte nicht für den Tourismus erschlossen werden.