Denkstrukturen in Lösungsansätzen von Modellierungsaufgaben

Xenia-Rosemarie Reit (2015): Denkstrukturen in Lösungsansätzen von Modellierungsaufgaben - Eine kognitionspsychologische Analyse schwierigkeitsgenerierender Aspekte. Dissertation, Goethe-Universität Frankfurt am Main.
Betreut durch Reinhard Oldenburg.
Begutachtet durch Reinhard Oldenburg und Gilbert Greefrath.
Erhältlich unter http://www.springer.com/de/book/9783658131883
Note: magna cum laude.
Tag der mündlichen Prüfung: 15.12.2015.

Zusammenfassung

Unter mathematischem Modellieren wird, vereinfacht ausgedrückt, der Prozess des Bearbeitens einer realen Problemsituation, unter Verwendung von Mathematik, verstanden. Als eine von sechs mathematischen Kompetenzen, wird dem mathematischen Modellieren eine bedeutende Stellung in den Bildungsstandards zuerkannt. Auch auf internationaler Ebene ist mathematisches Modellieren in Vergleichsstudien wie z.B. PISA (Programme for International Student Assessment) etabliert. Trotz des bildungspolitischen und fachdidaktischen Konsens über die Wichtigkeit mathematischen Modellierens in der Schule, zeigen einige Studien, dass der Anteil mathematischen Modellierens am Alltagsunterricht gering ist. In diesem Zusammenhang geht aus mehreren Untersuchungen hervor, dass dem mathematischen Modellieren im schulischen Kontext wenig Bedeutung beigemessen wird, wohingegen technische Aufgaben im Mittelpunkt des Unterrichtsgeschehens stehen. Eine detaillierte Auseinandersetzung mit den Implikationen einer unterrichtlichen Integration mathematischen Modellierens, bringt Schwierigkeiten und Hindernisse zu Tage, welche in Zusammenhang mit speziellen Charakteristika von Modellierungsaufgaben zu sehen sind. Eine Schwierigkeit ist die Vielfalt der zur Lösung möglichen Lösungswege und die damit verbundene Anwendbarkeit verschiedenster fachmathematischer Kenntnisse. Das führt dazu, dass Modellierungsaufgaben in vielerlei Hinsicht zunächst wenig überschaubar sind.

Die Ungleichheit zwischen bildungspolitischen Vorgaben und Schulalltag zeigt, dass vor allem diesbezüglich Handlungsbedarf besteht. Die vorliegende Arbeit knüpft an diese Problematik an, indem auf Basis tatsächlicher Schülerlösungen, eine systematische Erarbeitung schwierigkeitsgenerierender Aspekte in Lösungsansätzen von Modellierungsaufgaben, insbesondere aus kognitionspsychologischer Sicht, erfolgt. Schülerlösungen, welche z.B. auf dem gleichen mathematischen Modell beruhen, werden zunächst zu Lösungsansätzen zusammengefasst. Anschließend wird die kognitive Struktur von Lösungsansätzen auf parallele bzw. sequentielle Denkoperationen hin untersucht. Eine, aus der Kognitionspsychologie abgeleitete Hypothese ist, dass ein Zusammenhang zwischen der Anzahl parallel durchzuführender Denkoperationen und der Schwierigkeit des jeweiligen Lösungsansatzes besteht. Ziel ist es, darauf aufbauend eine tragfähige Methode zu entwickeln, welche eine valide theoretische Einschätzung der Schwierigkeit von Lösungsansätzen erlaubt. Zusätzlich wird ein Bewertungsschema erarbeitet, das sich auf die kognitionspsychologischen Ansätze zur Schwierigkeit stützt. Durch einen Vergleich von theoretischer Schwierigkeit und durchschnittlicher Punktzahl des jeweiligen Lösungsansatzes, als Maß für dessen empirische Schwierigkeit, kann eine Aussage über die Validität einzelner Aspekte der erarbeiteten Methode zur Ermittlung der theoretischen Schwierigkeit getroffen werden. Eine Erweiterung der Methode auf komplette Modellierungsaufgaben, führt zur Beschreibung einer theoretischen Aufgabenschwierigkeit.

In der vorliegenden Arbeit werden fünf Modellierungsaufgaben entwickelt, von denen je drei zusammen in einem Testbooklet von circa 600 Gymnasialschülern der neunten Jahrgangsstufe bearbeitet werden. Für die Auswertung stehen circa 1800 Schülerlösungen zur Verfügung. Die Schülerlösungen werden in verschiedene Lösungsansätze eingeordnet und mit einem in der Arbeit entwickelten Bewertungsschemas bewertet. Die so ermittelte durchschnittliche Punktzahl eines Lösungsansatzes, wird mit der theoretischen Schwierigkeit des jeweiligen Lösungsansatzes, welche mit der in der Arbeit entwickelten Methode ermittelt wird, verglichen.

Die statistische Auswertung dieser Daten bestätigt die Vermutung, dass Denkoperationen, welche innerhalb eines Lösungsansatzes parallel durchgeführt werden müssen, zu einer Verkomplizierung führen. Werden Modellierungsaufgaben als Ganzes in den Blick genommen, zeigt sich auch hier eine Präferenz für einen solchen Zusammenhang zwischen parallelen Denkoperationen und Schwierigkeit. Allerdings deuten die Ergebnisse darauf hin, dass dieser weniger stark ausfällt. In diesem Zusammenhang unterstützen die Ergebnisse, das zumeist intuitive Vorgehen von Lehrkräften bei der Entwicklung eines Bewertungsschemas einer Mathematikaufgabe, bei dem wichtige Zwischenschritte einer Lösung identifiziert und bepunktet und anschließend zu einer Gesamtpunktzahl aufsummiert werden.

Die Ergebnisse, welche die Annahme einer Verkomplizierung durch Parallelität weitestgehend bestätigenden, stellen das Potential kognitionspsychologisch basierter Methoden im Bereich von Modellierungsaufgaben bezüglich Schwierigkeit und Bewertung heraus. Zusätzlich kann dadurch ein wesentlichen Beitrag geleistet werden, die komplexe Struktur von Schülerlösungen von Modellierungsaufgaben zu verstehen und zu nutzen. Vor allem aus Sicht einer Lehrkraft ist dies ein wichtiger Schritt hin zu einer besseren Handhabbarkeit von Modellierungsaufgaben und folglich, deren alltagsunterrichtlicher Integration.

Abstract

Mathematical modelling can be seen, in simplified terms, as a process in which mathematics is used to elaborate on a reaslistic problem. Mathematical modelling is one of the six general mathematical competencies which are named in the German education standards for secondary education. At international level mathematical modelling is established in comparative studies, such as PISA (Programme for International Student Assessment). However, several studies confirm that the percentage of mathematical modelling in everyday school life is low. Regarding these findings, technical tasks are still the centre of mathematical teaching, wheareas modelling tasks seem to be of little importance. A detailed examination of the implications of curricular integration of mathematical modeling, reveals difficulties and obstacles which can be associated with special characteristics of modelling tasks. The variety of possible solutions for solving modelling tasks and the related applicability of different kinds of mathematical knowledge, means that, in many respects, modelling tasks are not easily manageable.

The disparity between educational requirements and everyday school teaching shows that especially in this area a need for action can be identified. The present thesis builds on this issue by working out difficulty"=generating aspects based on actual student solutions, particularly from a cognitive psychological perspective. At first student solutions which are based e.g. on the same mathematical model, are clustered into solution approaches. The cognitive structure of solution approaches is then analysed for parallel and sequential thought operations. A hypothesis derived from cogntive psychology is that the number of parallel thought operations has an influence on the difficulty of the respective solution approach. The aim is to develop a valid method to determine the theoretical difficulty of solution approaches. In addition, an assessment scheme is developed which is based on the cognitive psychological approach used for the determination of difficulty. By comparison of theoretical difficulty and average score of the respective solution approach as a measure for the empirical difficulty, a statement can be made about the validity of different aspects of the developed method for the determination of difficulty. An extension of the method to complete modelling tasks results in a description of a theoretical task difficulty.

In the present thesis five modelling tasks have been developed. The test booklets consisted of three modelling tasks each and have been solved by ca. 600 high school stundets of the 9th grade (15 to 16 years of age). Thus, ca. 1800 student solutions were available for evaluation. The student solutions were classified into different solution approaches and scored on the basis of an assessment scheme developed within this thesis. The average score of a solution approach, as a measure for the empirical difficulty, has then been quantitatively compared to the respective theoretical difficulty which was determined by the developed method.

The statistical analysis of this data confirms the assumption that thought operations being proceessed in parallel within one solution approach, lead to a complication of the respective solution approach. In view of complete modelling tasks, the results show a similar preference for a relation between parallel thought operations and difficulty, however, this relation turns out to be less dominant. In this context, the results support a mostly intuitive approach of teachers in developing an assessment scheme of mathematics tasks by identifying and scoring important intermediate steps which are then added up to a total score.

The results which most closely confirm the hypothesis of a complication by parallelism of thought operationes, point out the potential of cognitive psychological based methods in the area of modelling tasks concerning both difficulty and assessment. Additionally a singificant contribution is made to understand and make use of the complex structure of student solutions of modelling tasks. Especially from a teachers' point of view this is an important step towards a better manageability and thus, an integration of modelling tasks to everyday school life.