Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form f(x)= ax^2+bx+c (mit a ≠ 0) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(b/2a);(4ac-b^2)/4a). Für a= 0 ergibt sich eine lineare Funktion.

Einfluss der Parameter a, b und c

Parameter a

Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax², so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.

Parameter b

Bei einer Veränderung des Vorfaktors b kommt es sowohl zu einer Verschiebung des Graphen in x-Richtung als auch in y-Richtung.

Parameter c

Die Veränderung des Vorfaktors c bedingt eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung.

Scheitelpunkt / Scheitelpunktform

Der Scheitelpunkt trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem absoluten Minimum (für a>0) bzw. absoluten Maximum (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)²+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).

Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der quadratischen Ergänzung.

Spezialfälle quadratischer Funktionen

y=x²

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich: 0 ≤ y < + ∞

Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)

y=ax²+c

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich:

- für a>0: c ≤ y < + ∞

- für a<0: - ∞ < y ≤ c

Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)

y=(x+d)²+e

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich: e ≤ y < + ∞

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-d;e)

Normalform

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich: ((-p²)/4)+q ≤ y < + ∞

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p²)/4)+q)

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die Nullstellen dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen quadratischen Gleichung. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt:

0=x²+px+q mit p=b/a und q=c/a.

Die Lösungsformel, auch "p-q-Formel" genannt, lautet:

x1=-(p/2)+Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \sqrt{(p/2)²-q}}

x2=-(p/2)-Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \sqrt{(p/2)²-q}} .

Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)²-q wird auch als Diskriminante bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die quadratische Gleichung und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.

Die Funktion f(x)=x²+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle (Scheitelpunkt), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.

Quadratische Funktionen - ein didaktischer Ansatz

In vielen Schulbüchern beginnt der Einstieg in das Thema "quadratische Funktionen" mit der Betrachtung der Normalparabel f(x)=x². Anschließend wird durch Verschiebung, Streckung bzw. Stauchung die allgemeine quadratischen Funktion in Normal- und Scheitelpunktsform hergeleitet. Im Folgendem wird ein anderer Einstieg in die Thematik dargelegt.

Im ersten Unterrichtsabschnitt soll die Erarbeitung der quadratischen Funktion anhand einer problemorientierten Anwendungsaufgabe erfolgen. So könnte die Aufgabe lauten:

Ein Kino hat bei einem Eintrittspreise von 8 Euro durchschnittlich 225 Besucher pro Vorstellung. Würder der Besitzer den Eintrittspreis um 0,50 Euro, 1 Euro usw. erhöhen, so ginge die Besucherzahl um 10 Personen; 20 Personen usw. zurück.

Durch Ausprobieren (grafisch, rechnerisch) seitens der Schüler und hilfreichen Fragestellungen des Lehrers können sich die Schüler ein Bild von der Aufgabe machen. Die angegebenen Werte sind jedoch so gewählt, dass die Schüler mit Hilfe einer Zeichnung nicht zum Ergebnis gelangen, wodurch das Aufstellen einer quadratischen Funktion unumgänglich ist. Um eine bessere Übersicht über den funktionalen Zusammenhang zwischen Preiserhöhung und Gewinneinbringung zu erhalten, ist es angebracht eine Tabelle anzulegen (diese bietet auch gleich die Grundlage für eine Diskussion). Anhand dieses Beispiels entsteht auch die Frage nach dem Scheitelpunkt und dessen Bestimmung.

Nachdem in einer kurzen Übung Scheitelpunkte verschiedener Funktionen bestimmt worden, soll der Zusammenhang zwischen Scheitelpunkt und den Parametern der quadratischen Funktion ermittelt werden. Hierbei ist es essentiell den Schülern so wenig Hilfe wie möglich zu geben. Ein kleiner Tipp in der Form, dass der Lehrer eine erste Vermutung anstellt wie man d berechnen könnte (d = a + b + c, wird anschließend gleich verworfen), bringt die Schüler auf den richtigen Weg. Es soll ausprobiert werden, welche Parameter wie auf den Scheitelpunkt wirken. Was passiert, wenn a und b fest sind und nur c verändert wird etc.. Auch hier wäre es wieder angebracht eine Tabelle anzulegen.

Am Ende dieser Unterrichtseinheit soll mit den Schülern nach einer Formulierung für die herausgearbeiteten Sätzen gesucht und aufgeschrieben werden. Der Lehrer steht während der ganzen Unterrichtsstunde im Hintergrund.