Quadratische Funktionen

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Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form [math] f(x)= ax²+bx+c [/math] (mit [math] a ≠ 0 [/math]) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt [math] S(-\frac{b}{2a};\frac{4ac-b²}{4a}) [/math]. Für [math] a= 0 [/math] ergibt sich eine lineare Funktion.

Einfluss der Parameter [math] a [/math], [math] b [/math] und [math] c [/math]

Parameter [math] a [/math]

Wenn die Vorfaktoren [math] b=0 [/math] und [math] c=0 [/math] sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form [math] ax² [/math], so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor [math] a [/math] beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.

Parameter [math] b [/math]

Der Vorfaktor [math] b [/math] gibt die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle [math] x=0 [/math] an. Bei einer Veränderung des Vorfaktors [math] b [/math] kommt es sowohl zu einer Verschiebung des Graphen in x-Richtung als auch in y-Richtung, weil die x- und y-Koordinate des Scheitelpunkts vom Parameter [math] b [/math] abhängen: Scheitelpunkt [math] S(-\frac{b}{2a};\frac{4ac-b²}{4a}) [/math]

Parameter [math] c [/math]

Die Veränderung des Vorfaktors [math] c [/math] bedingt eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung.

Scheitelpunkt / Scheitelpunktform

Der Scheitelpunkt trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem absoluten Minimum (für [math] a\gt0 [/math]) bzw. absoluten Maximum (für [math] a\lt0 [/math]). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für [math] f(x)=a(x+d)²+e [/math] lautet der Scheitelpunkt [math] S(-d;e) [/math].

Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der quadratischen Ergänzung.

Spezialfälle quadratischer Funktionen

[math] y=x² [/math]

Definitionsbereich: [math] - ∞ \lt x \lt + ∞ [/math]

Wertebereich:[math] 0 ≤ y \lt + ∞ [/math]

Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt [math] S (0;0) [/math]

[math] y=ax²+c [/math]

Definitionsbereich: [math] - ∞ \lt x \lt + ∞ [/math]

Wertebereich:

- für [math] a\gt0: c ≤ y \lt + ∞ [/math]

- für [math] a\lt0: - ∞ \lt y ≤ c [/math]

Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt [math] S (0;c) [/math]

[math] y=(x+d)²+e [/math]

Definitionsbereich: [math] - ∞ \lt x \lt + ∞ [/math]

Wertebereich: [math] e ≤ y \lt + ∞ [/math]

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt [math] S(-d;e) [/math]

Normalform

Definitionsbereich: [math] - ∞ \lt x \lt + ∞ [/math]

Wertebereich: [math] -\frac{p²}{4}+q ≤ y \lt + ∞ [/math]

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt [math] S(-\frac{p}{2};(-\frac{p²}{4}+q) [/math]

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Für die quadratische Funktion [math] f(x)=ax²+bx+c [/math] beschreibt die Gleichung [math] 0=ax²+bx+c [/math] aus geometrischer Sicht die Nullstellen dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehörigen quadratischen Gleichung. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form [math] 0=ax²+bx+c [/math] in die Normalform überführt:

[math] 0=x²+px+q [/math] mit [math] p=\frac{b}{a} [/math] und [math] q=\frac{c}{a} [/math].

Die Lösungsformel, auch "p-q-Formel" genannt, lautet:

x1=-\frac{p}{2}+[math]\sqrt{(\frac{p}{2})²-q}[/math]

x2=-\frac{p}{2}-[math]\sqrt{(\frac{p}{2})²-q}[/math].

Der Term unter dem Wurzelzeichen [math] D=(\frac{p}{2})²-q [/math] wird auch als Diskriminante bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die quadratische Gleichung und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.

Die Funktion [math] f(x)=x²+px+q [/math] hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn [math] D\gt0 [/math], genau eine doppelte und reelle Nullstelle (Scheitelpunkt), wenn [math] D=0 [/math], und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn [math] D\lt0 [/math] ist.

Quadratische Funktionen - ein didaktischer Ansatz "Der Kinokrieg"[1]

In vielen Schulbüchern beginnt der Einstieg in das Thema "Quadratische Funktionen" mit der Betrachtung der Normalparabel [math] f(x)=x² [/math]. Anschließend wird durch Verschiebung, Streckung bzw. Stauchung die allgemeine quadratische Funktion in Normal- und Scheitelpunktform hergeleitet. Im Folgendem wird ein anderer Einstieg in die Thematik vorgestellt.

Im ersten Unterrichtsabschnitt soll die Erarbeitung der quadratischen Funktion anhand einer problemorientierten Anwendungsaufgabe erfolgen. Ferner nimmt der Lehrkörper eine passive Rolle im Unterrichtsgeschehen ein. Die Aufgabe "Der Kinokrieg" wird dafür gerne benutzt. Diese könnte so oder ähnlich lauten:

Ein Kino hat bei einem Eintrittspreis von 8 Euro durchschnittlich 225 Besucher pro Vorstellung. Würde der Besitzer den Eintrittspreis um 0,50 Euro, 1 Euro usw. erhöhen, so ginge die Besucherzahl um 10 Personen, 20 Personen usw. zurück. Welcher Eintrittspreis bringt dem Besitzer am meisten Gewinn?

Durch Ausprobieren (grafisch, rechnerisch) seitens der Schülerinnen und Schüler (SuS) und hilfreichen Fragestellungen des Lehrkörpers können sich die SuS ein Bild von der Aufgabe machen. Die angegebenen Werte sind jedoch so gewählt, dass die SuS mit Hilfe einer Zeichnung nicht zum Ergebnis gelangen, wodurch das Aufstellen einer quadratischen Funktion unumgänglich ist. Um eine bessere Übersicht über den funktionalen Zusammenhang zwischen Preiserhöhung und Gewinneinbringung zu erhalten, ist es angebracht, eine Tabelle anzulegen. Letztere bietet auch gleich die Grundlage für eine Diskussion. Anhand dieses Beispiels stellt sich schließlich die Frage nach dem Scheitelpunkt und dessen Bestimmung.

Nachdem in einer kurzen Übung Scheitelpunkte verschiedener Funktionen bestimmt worden sind, wird nun der Zusammenhang zwischen Scheitelpunkt und den Parametern der quadratischen Funktion ermittelt. Hierbei ist es essentiell, den SuS so wenig Hilfe wie möglich zu geben. Eine denkanstoßende Vermutung seitens des Lehrkörpers wie man [math] d [/math] berechnen könnte ([math] d = a + b + c [/math]), wird anschließend gleich verworfen und bringt die SuS auf den richtigen Weg. Demnach ist es die Aufgabe der SuS herauszufinden, welche Parameter wie auf den Scheitelpunkt wirken. Was passiert, wenn [math] a [/math] und [math] b [/math] fest sind und nur [math] c [/math] verändert wird etc. Auch hier wäre es wieder angebracht eine Tabelle anzulegen.

Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird mit den SuS nach einer Formulierung für die herausgearbeiteten Sätze gesucht und schriftlich festgehalten.

Literatur

  1. Vgl. Altvater, Olaf; Woznik, Thomas (1998): Quadratische Funktionen selbständig entdecken. In: Mathematik in der Schule, 36(1998), H. 2. S. 80 - 92.


Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2015): Quadratische Funktionen. Version vom 22.05.2015. In: Madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Quadratische_Funktionen&oldid=21774.