Baustelle:Gleichung
Definition
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss.
Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.
Beispiel: 2+3x=16
Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.
Weiterhin können mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet werden. Man betrachtet dann ein Gleichungssystem. Dieses System von Gleichungen enthält mehrere Variablen, die gleichzeitig gesucht werden.
Die Klassizierung der Gleichungen
In diesem Abschnitt werden die für die 5.-10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt. Alle Gleichungen werden hierfür in der Normalform angegeben.
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0
Lineare Gleichung
In einer Gleichung 1. Grades tritt die Unbekannte genau in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form: ax+b=0 mit x ungleich 0
| z.B. x + 1 = 0 |
Quadratische Gleichung
In einer Gleichung 2. Grades tritt die Unbekannte genau in der 2. Potenz auf. Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 mit x² ungleich 0
| z.B. x²+x -2 = 0 |
Kubische Gleichung
In einer Gleichung 3. Grades tritt die Unbekannte genau in der 3. Potenz auf. Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0 mit x³ ungleich 0
| z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0 |
Bruchgleichung
Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.
| z.B. 3/x - 36 = 23 |
Lösungsstrategien
Äquivalente Umformungen einer Gleichung
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen aus.
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden[1].
Gleichungssysteme
| Gleichsetzungsverfahren | Einsetzungsverfahren | Additionsverfahren |
|---|---|---|
| Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt. | Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein. | Hier werden Gleichungen addiert. Dazu wird zunächst jede Gleichung mit einer passenden Zahl multipliziert. Das führt dazu, dass die Parameter einer Unbekannten in beiden Gleichungen gleich groß sind. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert. |
Grafisches Lösungen von Gleichungen
Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit, Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe der Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen.
In Zeiten von solchen Computerprogrammen, wie z.B. GeoGebra, CAS-Rechner und grafikfähigem Taschenrechner bietet das grafische Lösungsverfahren eine zeitsparende Alternative zu den algebraischen Lösungsmethoden.
Beim grafischen Lösen einer Gleichung muss man jede Seite der Gleichung als Funktion interpretieren und den bzw. die Schnittpunkte dieser betrachten. Die Lösungen der Gleichung kann man aus den x-Werten der Schnittpunktskoordinaten ablesen. Gibt es keine Schnittpunkte, so ist die Gleichung nicht lösbar.